Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 1 Toán 8

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Tích của đơn thức $x$ và đa thức $(1 – x)$ là:

A

$1 - 2x$
B

$x - {x^2}$
C

${x^2} - x$
D

${x^2} + x$

Câu 2 :

Tích của đa thức $4{x^5} + 7{x^2}$ và đơn thức $\left( { - 3{x^3}} \right)$ là:

A

$12{x^8} + 21{x^5}$
B

$12{x^8} + 21{x^6}$
C

$ - 12{x^8} + 21{x^5}$
D

$ - 12{x^8} - 21{x^5}$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức $A = \left( {{x^2} + 2 - 2x} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2x} \right) - {x^4}$ ta được kết quả là:

A

$A = 4$
B

$A = - 4$
C

$A = 19$
D

$A = - 19$

Câu 4 :

Rút gọn đa thức $16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}$ ta được kết quả nào sau đây?

A

${\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
B

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
C

${\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
D

${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Câu 5 :

Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai?

A

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
B

${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}$
C

${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$
D

${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

Câu 6 :

Cho biết $3{y^2} - 3y\left( {y - 2} \right) = 36$. Giá trị của $y$ là:

A

5
B

6
C

7
D

8

Câu 7 :

Giá trị của biểu thức $A = 2x\left( {3x - 1} \right) - 6x\left( {x + 1} \right) - \left( {3 - 8x} \right)$ là:

A

$ - 16x - 3$
B

$ - 3$
C

$ - 16x$
D

Đáp án khác

Câu 8 :

Thực hiện phép tính $\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} + 1} \right)$ ta được kết quả là:

A

${x^5} + x + 1$
B

${x^5} - {x^4} + x$
C

${x^5} + {x^4} + x$
D

${x^5} - x - 1$

Câu 9 :

Cho $A = 5x\left( {4{x^2} - 2x + 1} \right) - 2x\left( {10{x^2} - 5x - 2} \right) - 9x + 1$. Chọn câu đúng.

A

$A = 9x$
B

$A = 18x + 1$
C

$A = 9x + 1$
D

Giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$

Câu 10 :

Tìm $x$ biết $\left( {x + 2} \right)(x + 3) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6$

A

$x = - 5.$
B

$x = 5.$
C

$x = - 10.$
D

$x = - 1.$

Câu 11 :

Rút gọn biểu thức ${\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}$ ta được

A

$8$
B

$16$
C

$24$
D

$4$

Câu 12 :

Cho biết ${\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16$. Hỏi giá trị của $x$ là:

A

$\dfrac{1}{8}$
B

$8$
C

$ - \dfrac{1}{8}$
D

$ - 8\left( {x + 5} \right)$

Câu 13 :

Cho $x + y = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1$.

A

$\dfrac{1}{2}$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Câu 14 :

Tìm $x$ biết: ${\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10$

A

$x = - \dfrac{1}{2}$
B

$x = 1$
C

$x = - 2$
D

$x = 3$

Câu 15 :

Kết quả phân tích đa thức $6{x^2}y - 12x{y^2}$ là:

A

$6xy\left( {x - 2y} \right)$
B

$6xy\left( {x - y} \right)$
C

$6xy\left( {x + 2y} \right)$
D

$6xy\left( {x + y} \right)$

Câu 16 :

Điền đơn thức vào chỗ trống: $12{x^3}{y^2}{z^2} - 18{x^2}{y^2}{z^4} = ....\left( {2x - 3{z^2}} \right)$

A

$6x{y^2}{z^2}$
B

$6{x^2}{y^2}{z^2}$
C

$6{y^2}{z^2}$
D

$6{x^3}{y^2}{z^2}$

Câu 17 :

Tìm $x$ biết: $2x\left( {x - 3} \right) + 5\left( {x - 3} \right) = 0$

A

$x = \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = 3$
B

$x = - \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = 3$
C

$x = \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = - 3$
D

$x = \dfrac{2}{5}$ hoặc $x = 3$

Câu 18 :

Tính giá trị của biểu thức $A = x\left( {x - 2009} \right) - y\left( {2009 - x} \right)$ tại $x = 3009$ và $y = 1991$:

A

$5000000$
B

$500000$
C

$50000$
D

$5000$

Câu 19 :

Chọn câu sai.

A

$15{x^2} + 10xy = 5x\left( {3x + 2y} \right)$
B

$35x\left( {y - 8} \right) - 14y\left( {8 - y} \right) = 7\left( {5x + 2y} \right)\left( {y - 8} \right)$
C

$ - x + 6{x^2}y - 12xy + 2 = \left( {6xy + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$
D

${x^3} - {x^2} + x - 1 = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$

Câu 20 :

Giá trị lớn nhất của $x$ thỏa mãn phương trình $\;7{x^2}\left( {x - 7} \right) + 5x\left( {7 - x} \right) = 0$ là

A

$x = \dfrac{5}{7}$
B

$x = 7$
C

$x = 0$
D

$x = 8$

Câu 21 :

Đa thức $12x - 9 - 4{x^2}$ được phân tích thành:

A

$\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)$
B

$ - {\left( {2x - 3} \right)^2}$
C

${\left( {3 - 2x} \right)^2}$
D

$ - {\left( {2x + 3} \right)^2}$

Câu 22 :

Phân tích đa thức ${x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3}$ thành nhân tử:

A

${\left( {x - y} \right)^3}$
B

${\left( {2x - y} \right)^3}$
C

${x^3} - {\left( {2y} \right)^3}$
D

${\left( {x - 2y} \right)^3}$

Câu 23 :

Phân tích đa thức thành nhân tử: $5{x^2} + 10xy - 4x - 8y$

A

$\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)$
B

$\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$
C

$\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)$
D

$\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$

Câu 24 :

Điền vào chỗ trống: $3{x^2} + 6x{y^2} - 3{y^2} + 6{x^2}y = 3\left( {...} \right)\left( {x + y} \right)$

A

$\left( {x + y + 2xy} \right)$
B

$\left( {x - y + 2xy} \right)$
C

$\left( {x - y + xy} \right)$
D

$\left( {x - y + 3xy} \right)$

Câu 25 :

Phân tích đa thức $m.{n^3} - 1 + m - {n^3}$ thành nhân tử, ta được:

A

$\left( {m - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)$
B

${n^2}\left( {n + 1} \right)\left( {m - 1} \right)$
C

$\left( {m + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)$
D

$\left( {{n^3} - 1} \right)\left( {m - 1} \right)$

Câu 26 :

Điền vào chỗ trống $4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)$:

A

$2x + y + 1$
B

$2x - y + 1$
C

$2x - y$
D

$2x + y$

Câu 27 :

Chọn câu đúng.

A

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}$
B

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}$
C

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}\left( {x - 2} \right)$
D

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = x{\left( {x - 2} \right)^2}$

Câu 28 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn ${x^3} - 3{x^2} + 3 - x = 0$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Câu 29 :

Cho $4{x^2} - 25 - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right) = \left( {2x - 5} \right)\left( {...} \right)$ . Biểu thức điền vào dấu ba chấm là

A

$2x + 12$
B

$4x - 12$
C

$x + 3$
D

$4x + 12$

Câu 30 :

Chọn câu sai.

A

${x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
B

${\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)$
C

$ - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}$
D

$\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)$

Câu 31 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn ${\left( {x + 5} \right)^2} - 2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} = 49$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

Vô số

Câu 32 :

Rút gọn biểu thức $B = (x - 2)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x$

A

$x-8$
B

$8-4x$
C

$8-x$
D

$4x - 8$

Câu 33 :

Tìm giá trị của $x$ thỏa mãn $x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0$

A

$x = \dfrac{7}{2}$ hoặc $x = - 2$
B

$x = \dfrac{{ - 7}}{2}$ hoặc $x = 2$
C

$x = \dfrac{7}{2}$ hoặc $x = 2$
D

$x = \dfrac{{ - 7}}{2}$ hoặc $x = - 2$

Câu 34 :

Chọn câu đúng nhất:

A

${x^2} - 2x - 4{y^2} - 4y = \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x + 2y} \right)$
B

${x^2} + {y^2}x + {x^2}y + xy - x - y = \left( {x + xy - 1} \right)\left( {x + y} \right)$
C

Cả A, B đều đúng
D

Cả A, B đều sai

Câu 35 :

Tổng các giá trị của $x$ thỏa mãn $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0$ là

A

$2$
B

$ - 1$
C

$1$
D

$0$

Câu 36 :

Tính giá trị của biểu thức $B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x$ khi ${x^3} - x = 6$:

A

$36$
B

$42$
C

$48$
D

$56$

Câu 37 :

Phân tích đa thức $\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy$ thành nhân tử ta được

A

$2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right)$
B

$2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y - 1} \right)$
C

$xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right)$
D

$2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)$

Câu 38 :

Chọn câu sai:

A

$16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right)$
B

$16{x^3} - 54{y^3} = 2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right)$
C

$16{x^3} - 54{y^3} = 2\left( {2x - 3y} \right){\left( {2x + 3y} \right)^2}$
D

$16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right)$

Câu 39 :

Tìm $x$ biết ${\left( {2x - 3} \right)^2} - 4{x^2} + 9 = 0$

A

$x = \dfrac{1}{2}$
B

$x = - \dfrac{3}{2}$
C

$x = \dfrac{3}{2}$
D

$x = \dfrac{2}{3}$

Câu 40 :

Tìm $x$ biết ${x^3} - {x^2} - x + 1 = 0$

A

$x = 1$ hoặc $x = - 1$
B

$x = - 1$ hoặc $x = 0$
C

$x = 1$ hoặc $x = 0$
D

$x = 1$

Câu 41 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ${x^3} - 5x + 4$ ta được

A

$\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)$
B

$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right)$
C

$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)$
D

$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)$

Câu 42 :

Thực hiện phép tính: $\left( {4{x^4} - 4{x^3} + 3x - 3} \right):\left( {x - 1} \right)$

A

$4{x^2} + 3$
B

$4{x^3} - 3$
C

$4{x^2} - 3$
D

$4{x^3} + 3$

Câu 43 :

Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{4{x^3} - 5{x^2} + 1}}{{{x} - 1}}$

A

$4{x^2} - x - 1$
B

$4{x^2} + x - 1$
C

$4{x^2} + x + 1$
D

$4{x^2} - x + 1$

Câu 44 :

Thực hiện phép tính $A = \left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right)$ ta được

A

$3x - 1$
B

$3x + 1$
C

$3x$
D

$3$

Câu 45 :

Phân tích đa thức thành nhân tử ta được ${x^3} + 7{x^2} + 12x + 4 = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + a.x + 2} \right)$ . Khi đó giá trị của $a$ là:

A

$5$
B

$ - 6$
C

$ - 5$
D

$6$

Câu 46 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn $\,2{x^3}\left( {2x - 3} \right) - {x^2}\left( {4{x^2} - 6x + 2} \right) = 0$

A

$2$
B

$3$
C

$0$
D

$1$

Câu 47 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} - x + 1$ là:

A

$\dfrac{2}{4}$
B

$\dfrac{3}{4}$
C

$1$
D

$ - \dfrac{3}{4}$

Câu 48 :

Giá trị lớn nhất của biểu thức $B = - 9{x^2} + 2x - \dfrac{2}{9}$ là:

A

$\dfrac{2}{9}$
B

$ - \dfrac{2}{9}$
C

$\dfrac{1}{9}$
D

$ - \dfrac{1}{9}$

Câu 49 :

Tính giá trị biểu thức $P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)$ cho $x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}$;

A

$P = - \dfrac{{19}}{8}$
B

$P = \dfrac{{19}}{8}$
C

$P = \dfrac{8}{{19}}$
D

$P = \dfrac{9}{8}$

Câu 50 :

Phân tích đa thức ${x^8} + {x^4} + 1$ thành nhân tử ta được

A

$\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right)$
B

$\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$
C

$\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$
D

$\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$

Câu 51 :

Cho $S = 1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5}$, chọn câu đúng

A

$xS - S = {x^6} - 1$
B

$xS - S = {x^6}$
C

$xS - S = {x^6} + 1$
D

$xS - S = {x^7} - 1$

Câu 52 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A

$A=3$
B

$A=-17$
C

$A=-3$
D

$A=17$

Câu 53 :

Cho: ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ thì

A

$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$.
B

$a = b = c$
C

$a = b = c = 0$
D

$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 1$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Tích của đơn thức $x$ và đa thức $(1 – x)$ là:

A

$1 - 2x$
B

$x - {x^2}$
C

${x^2} - x$
D

${x^2} + x$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải chi tiết :

$x\left( {1 - x} \right) = x.1 - x.x = x - {x^2}$

Câu 2 :

Tích của đa thức $4{x^5} + 7{x^2}$ và đơn thức $\left( { - 3{x^3}} \right)$ là:

A

$12{x^8} + 21{x^5}$
B

$12{x^8} + 21{x^6}$
C

$ - 12{x^8} + 21{x^5}$
D

$ - 12{x^8} - 21{x^5}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải chi tiết :

$\left( {4{x^5} + 7{x^2}} \right).\left( { - 3{x^3}} \right) $$= 4{x^5}.\left( { - 3{x^3}} \right) + 7{x^2}.\left( { - 3{x^3}} \right) = - 12{x^8} - 21{x^5}$

Câu 3 :

Rút gọn biểu thức $A = \left( {{x^2} + 2 - 2x} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2x} \right) - {x^4}$ ta được kết quả là:

A

$A = 4$
B

$A = - 4$
C

$A = 19$
D

$A = - 19$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Hoặc sử dụng hằng đẳng thức $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ và $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải chi tiết :

$A = \left( {{x^2} + 2 - 2x} \right)\left( {{x^2} + 2 + 2x} \right) - {x^4} $$= {x^2}.{x^2} + 2.{x^2} + 2x.{x^2} + 2.{x^2} + 2.2 + 2.2x - 2x.{x^2} - 2.2x - 2x.2x - {x^4} $$=x^4+2x^2+2x^3+2x^2+4+4x-2x^3-4x-4x^2-x^4$$= 4$

Vậy $A = 4$.

Câu 4 :

Rút gọn đa thức $16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}$ ta được kết quả nào sau đây?

A

${\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
B

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
C

${\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
D

${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4} = {\left( {4x} \right)^2} - 2.4x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Câu 5 :

Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai?

A

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
B

${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}$
C

${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$
D

${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

${\left( {A - B} \right)^3} $$= {\left( {A + \left( { - B} \right)} \right)^3} $$= {A^3} + 3.{A^2}.\left( { - B} \right) + 3.A.{\left( { - B} \right)^2} + {\left( { - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$

$ \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} $$= {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}$ là sai.

Câu 6 :

Cho biết $3{y^2} - 3y\left( {y - 2} \right) = 36$. Giá trị của $y$ là:

A

5
B

6
C

7
D

8

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Từ đó tìm $y.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}3{y^2} - 3y\left( {y - 2} \right) = 36\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 3y.y - 3y\left( { - 2} \right) = 36\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 3{y^2} + 6y = 36\\ \Leftrightarrow 6y = 36 \\\Leftrightarrow y = 6\end{array}$

Câu 7 :

Giá trị của biểu thức $A = 2x\left( {3x - 1} \right) - 6x\left( {x + 1} \right) - \left( {3 - 8x} \right)$ là:

A

$ - 16x - 3$
B

$ - 3$
C

$ - 16x$
D

Đáp án khác

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A = 2x\left( {3x - 1} \right) - 6x\left( {x + 1} \right) - \left( {3 - 8x} \right)\\ \Leftrightarrow A = 2x.3x - 2x.1 - 6x.x - 6x.1 - 3 + 8x\\ \Leftrightarrow A = 6{x^2} - 2x - 6{x^2} - 6x - 3 + 8x\\ \Leftrightarrow A = - 3\end{array}$

Câu 8 :

Thực hiện phép tính $\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} + 1} \right)$ ta được kết quả là:

A

${x^5} + x + 1$
B

${x^5} - {x^4} + x$
C

${x^5} + {x^4} + x$
D

${x^5} - x - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;\;\;\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - {x^2} + 1} \right)\\ = {x^2}.{x^3} - {x^2}.{x^2} + {x^2}.1 + x.{x^3} - x.{x^2} + x.1 + 1.{x^3} - 1.{x^2} + 1.1\\ = {x^5} - {x^4} + {x^2} + {x^4} - {x^3} + x + {x^3} - {x^2} + 1\\ = {x^5} + x + 1\end{array}$

Câu 9 :

Cho $A = 5x\left( {4{x^2} - 2x + 1} \right) - 2x\left( {10{x^2} - 5x - 2} \right) - 9x + 1$. Chọn câu đúng.

A

$A = 9x$
B

$A = 18x + 1$
C

$A = 9x + 1$
D

Giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A = 5x\left( {4{x^2} - 2x + 1} \right) - 2x\left( {10{x^2} - 5x - 2} \right) - 9x + 1\\ \Leftrightarrow A = 5x.4{x^2} - 5x.2x + 5x.1 - 2x.10{x^2} - 2x.\left( { - 5x} \right) - 2x\left( { - 2} \right) - 9x + 1\\ \Leftrightarrow A = 20{x^3}-{\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }}-{\rm{ }}20{x^3} + {\rm{ }}10{x^2} + {\rm{ }}4x - 9x + 1\\ \Leftrightarrow A = 9x - 9x + 1\\ \Leftrightarrow A = 1\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$

Câu 10 :

Tìm $x$ biết $\left( {x + 2} \right)(x + 3) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6$

A

$x = - 5.$
B

$x = 5.$
C

$x = - 10.$
D

$x = - 1.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi vế trái bằng cách sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng

Từ đó tìm $x.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)(x + 3) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right) = 6\\ \Leftrightarrow x.x + 3.x + 2.x + 2.3 - x.x - 5.x + 2.x + 2.5 = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2x + 6 - {x^2} - 5x + 2x + 10 = 6\\ \Leftrightarrow 2x + 16 = 6\\ \Leftrightarrow 2x = - 10\\ \Leftrightarrow x = - 5\end{array}$

Vậy $x = - 5.$

Câu 11 :

Rút gọn biểu thức ${\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}$ ta được

A

$8$
B

$16$
C

$24$
D

$4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{\left( {3x + 1} \right)^2} - 2\left( {3x + 1} \right)\left( {3x + 5} \right) + {\left( {3x + 5} \right)^2}\\ = {\left( {\left( {3x + 1} \right) - \left( {3x + 5} \right)} \right)^2}\\ = {\left( {3x + 1 - 3x - 5} \right)^2}\\ = {( - 4)^2} = 16\end{array}$

Câu 12 :

Cho biết ${\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16$. Hỏi giá trị của $x$ là:

A

$\dfrac{1}{8}$
B

$8$
C

$ - \dfrac{1}{8}$
D

$ - 8\left( {x + 5} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$; ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Sau đó cộng trừ các hạng tử đồng dạng để tìm $x.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{\left( {x + 4} \right)^2} - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.4 + {4^2} - \left( {{x^2} - 1} \right) = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 16 - {x^2} + 1 = 16\\ \Leftrightarrow 8x = 16 - 16 - 1\\ \Leftrightarrow 8x = - 1\\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{8}\end{array}$

Câu 13 :

Cho $x + y = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1$.

A

$\dfrac{1}{2}$
B

$1$
C

$2$
D

$ - 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ và nhóm các hạng tử để biến đổi $A$ sao cho xuất hiện hạng tử $x + y.$

Lời giải chi tiết :

$A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1 $$= \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \left( {4x + 4y} \right) + 1 $$= {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) + 1$

Tại $x + y = 3$ , ta có: $A = {3^2} - 4.3 + 1 = - 2$

Câu 14 :

Tìm $x$ biết: ${\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10$

A

$x = - \dfrac{1}{2}$
B

$x = 1$
C

$x = - 2$
D

$x = 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$; ${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$;${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Sau đó cộng trừ các hạng tử đồng dạng để tìm $x.$

Lời giải chi tiết :

${\left( {x + 1} \right)^3} - {\left( {x - 1} \right)^3} - 6{\left( {x - 1} \right)^2} = - 10$

$ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - \left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) - 6\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = - 10$

$\Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - {x^3} + 3{x^2} - 3x + 1 - 6{x^2} + 12x - 6 = - 10$$\Leftrightarrow12x - 4 = - 10$

$\Leftrightarrow 12x = - 10 + 4$

$\Leftrightarrow 12x = - 6$

$ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 1}}{2}$

Câu 15 :

Kết quả phân tích đa thức $6{x^2}y - 12x{y^2}$ là:

A

$6xy\left( {x - 2y} \right)$
B

$6xy\left( {x - y} \right)$
C

$6xy\left( {x + 2y} \right)$
D

$6xy\left( {x + y} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung

Lời giải chi tiết :

$6{x^2}y - 12x{y^2} = 6xy.x - 6xy.2y = 6xy\left( {x - 2y} \right)$

Câu 16 :

Điền đơn thức vào chỗ trống: $12{x^3}{y^2}{z^2} - 18{x^2}{y^2}{z^4} = ....\left( {2x - 3{z^2}} \right)$

A

$6x{y^2}{z^2}$
B

$6{x^2}{y^2}{z^2}$
C

$6{y^2}{z^2}$
D

$6{x^3}{y^2}{z^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung

Lời giải chi tiết :

$12{x^3}{y^2}{z^2} - 18{x^2}{y^2}{z^4} = 6{x^2}{y^2}{z^2}.2x - 6{x^2}{y^2}{z^2}.3{z^2} = 6{x^2}{y^2}{z^2}\left( {2x - 3{z^2}} \right)$

Vậy đơn thức điền vào chỗ trống là: $6{x^2}{y^2}{z^2}$

Câu 17 :

Tìm $x$ biết: $2x\left( {x - 3} \right) + 5\left( {x - 3} \right) = 0$

A

$x = \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = 3$
B

$x = - \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = 3$
C

$x = \dfrac{5}{2}$ hoặc $x = - 3$
D

$x = \dfrac{2}{5}$ hoặc $x = 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;\;\;2x\left( {x - 3} \right) + 5\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{5}{2}\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = - \dfrac{5}{2}$ hoặc $ x = 3$

Câu 18 :

Tính giá trị của biểu thức $A = x\left( {x - 2009} \right) - y\left( {2009 - x} \right)$ tại $x = 3009$ và $y = 1991$:

A

$5000000$
B

$500000$
C

$50000$
D

$5000$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để thu gọn $A.$ Sau đó thay $x = 3009$ và $y = 1991$ để tính toán.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;\;\;A = x\left( {x - 2009} \right) - y\left( {2009 - x} \right)\\ \Leftrightarrow A = x\left( {x - 2009} \right) + y\left( {x - 2009} \right)\\ \Leftrightarrow A = \left( {x + y} \right)\left( {x - 2009} \right)\end{array}$

Với $x = 3009$ và $y = 1991$, giá trị của biểu thức là:

$A = \left( {3009 + 1991} \right)\left( {3009 - 2009} \right) = 5000.1000 = 5000000$

Câu 19 :

Chọn câu sai.

A

$15{x^2} + 10xy = 5x\left( {3x + 2y} \right)$
B

$35x\left( {y - 8} \right) - 14y\left( {8 - y} \right) = 7\left( {5x + 2y} \right)\left( {y - 8} \right)$
C

$ - x + 6{x^2}y - 12xy + 2 = \left( {6xy + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$
D

${x^3} - {x^2} + x - 1 = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử thích hợp

Lời giải chi tiết :

Ta có

+) $15{x^2} + 10xy = 5x.3x + 5x.2y = 5x\left( {3x + 2y} \right)$

+) $35x\left( {y - 8} \right) - 14y\left( {8 - y} \right) = 7.5x\left( {y - 8} \right) + 7.2y\left( {y - 8} \right) = \left( {7.5x + 7.2y} \right)\left( {y - 8} \right) = 7\left( {5x + 2y} \right)\left( {y - 8} \right)$

$\begin{array}{l} - x + 6{x^2}y - 12xy + 2\\ = \left( {6{x^2}y - 12xy} \right) - \left( {x - 2} \right)\\ = \left( {6xy.x - 6xy.2} \right) - \left( {x - 2} \right)\\ = 6xy\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)\\ = \left( {6xy - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\;{x^3} - {x^2} + x - 1\\ = {x^2}.x - {x^2} + x - 1\\ = {x^2}\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\end{array}$

Vậy A, B, D đúng, C sai.

Câu 20 :

Giá trị lớn nhất của $x$ thỏa mãn phương trình $\;7{x^2}\left( {x - 7} \right) + 5x\left( {7 - x} \right) = 0$ là

A

$x = \dfrac{5}{7}$
B

$x = 7$
C

$x = 0$
D

$x = 8$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để đưa phương trình về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}7{x^2}\left( {x - 7} \right) + 5x\left( {7 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 7x.x\left( {x - 7} \right) - 5.x\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7x.x - 5.x} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {7x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\7x - 5 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{7}\\x = 7\end{array} \right.\end{array}$

Giá trị lớn nhất của $x$ thỏa mãn đề bài là $x = 7.$

Câu 21 :

Đa thức $12x - 9 - 4{x^2}$ được phân tích thành:

A

$\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)$
B

$ - {\left( {2x - 3} \right)^2}$
C

${\left( {3 - 2x} \right)^2}$
D

$ - {\left( {2x + 3} \right)^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết :

$12x - 9 - 4{x^2} = - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right) = - \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2.2x.3 + {3^2}} \right) = - {\left( {2x - 3} \right)^2}$

Câu 22 :

Phân tích đa thức ${x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3}$ thành nhân tử:

A

${\left( {x - y} \right)^3}$
B

${\left( {2x - y} \right)^3}$
C

${x^3} - {\left( {2y} \right)^3}$
D

${\left( {x - 2y} \right)^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$ để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết :

${x^3} - 6{x^2}y + 12x{y^2} - 8{y^3} = {x^3} - 3.{x^2}.\left( {2y} \right) + 3.x.{\left( { 2y} \right)^2} - {\left( { 2y} \right)^3} = {\left( {x - 2y} \right)^3}$

Câu 23 :

Phân tích đa thức thành nhân tử: $5{x^2} + 10xy - 4x - 8y$

A

$\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)$
B

$\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$
C

$\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)$
D

$\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,5{x^2} + 10xy - 4x - 8y = \left( {5{x^2} + 10xy} \right) - \left( {4x + 8y} \right)\\ = 5x\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {x + 2y} \right) = \left( {5x - 4} \right)\left( {x + 2y} \right)\end{array}$

Câu 24 :

Điền vào chỗ trống: $3{x^2} + 6x{y^2} - 3{y^2} + 6{x^2}y = 3\left( {...} \right)\left( {x + y} \right)$

A

$\left( {x + y + 2xy} \right)$
B

$\left( {x - y + 2xy} \right)$
C

$\left( {x - y + xy} \right)$
D

$\left( {x - y + 3xy} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp để sắp xếp các hạng tử.

- Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 3 và nhóm hạng tử thứ 2 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.

- Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

- So sánh với đề bài để tìm ra đa thức cần điền vào chỗ trống.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3{x^2} + 6x{y^2} - 3{y^2} + 6{x^2}y = \left( {3{x^2} - 3{y^2}} \right) + \left( {6x{y^2} + 6{x^2}y} \right)\\ = 3\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + 6xy\left( {y + x} \right) = 3\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + 6xy\left( {x + y} \right)\\ = \left[ {3\left( {x - y} \right) + 6xy} \right]\left( {x + y} \right) = 3\left( {x - y + 2xy} \right)\left( {x + y} \right).\end{array}$

Vậy chỗ trống là $\left( {x - y + 2xy} \right)$.

Câu 25 :

Phân tích đa thức $m.{n^3} - 1 + m - {n^3}$ thành nhân tử, ta được:

A

$\left( {m - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)$
B

${n^2}\left( {n + 1} \right)\left( {m - 1} \right)$
C

$\left( {m + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)$
D

$\left( {{n^3} - 1} \right)\left( {m - 1} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,m.{n^3} - 1 + m - {n^3}\\ = \left( {m{n^3} - {n^3}} \right) + \left( {m - 1} \right)\\ = {n^3}\left( {m - 1} \right) + \left( {m - 1} \right)\\ = \left( {{n^3} + 1} \right)\left( {m - 1} \right)\\ = \left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right)\left( {m - 1} \right).\end{array}$

Câu 26 :

Điền vào chỗ trống $4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)$:

A

$2x + y + 1$
B

$2x - y + 1$
C

$2x - y$
D

$2x + y$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

- So sánh với yêu cầu của đề bài để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4{x^2} + 4x - {y^2} + 1\\ = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2.2x + 1} \right) - {y^2}\\ = {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {2x + 1 - y} \right)\left( {2x + 1 + y} \right)\\ = \left( {2x - y + 1} \right)\left( {2x + y + 1} \right).\end{array}$

Vậy đa thức trong chỗ trống là $2x - y + 1$.

Câu 27 :

Chọn câu đúng.

A

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}$
B

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}$
C

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = {x^2}\left( {x - 2} \right)$
D

${x^4} - 4{x^3} + 4{x^2} = x{\left( {x - 2} \right)^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức để phân tích

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{x^4} - 4{x^3} + 4{x^2}\\ = {x^2}\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\\ = {x^2}\left( {{x^2} - 2.2.x + {2^2}} \right)\\ = {x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}.\end{array}$

Câu 28 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn ${x^3} - 3{x^2} + 3 - x = 0$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

$4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung để đưa phương trình về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 3 - x = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}.x - 3.{x^2} + \left( {3 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = 1$ hoặc $x = 3$ hoặc $x = - 1$.

Vậy có ba giá trị của $x$ thỏa mãn đề bài.

Câu 29 :

Cho $4{x^2} - 25 - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right) = \left( {2x - 5} \right)\left( {...} \right)$ . Biểu thức điền vào dấu ba chấm là

A

$2x + 12$
B

$4x - 12$
C

$x + 3$
D

$4x + 12$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$ và phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;4{x^2} - 25 - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\ = {\left( {2x} \right)^2} - {5^2} - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\ = \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5} \right) - \left( {2x + 7} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\ = \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5} \right) + \left( {2x + 7} \right)\left( {2x - 5} \right)\\ = \left( {2x - 5} \right)\left( {2x + 5 + 2x + 7} \right) = \left( {2x - 5} \right)\left( {4x + 12} \right)\end{array}$

Biểu thức cần điền là $4x + 12.$

Câu 30 :

Chọn câu sai.

A

${x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
B

${\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)$
C

$ - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}$
D

$\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử .. và phối hợp nhiều phương pháp để phân tích.

Lời giải chi tiết :

$ + )\;{x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = \left( {{x^2} + 2.2.x + {2^2}} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$

$ + )\;{\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = {\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2} = \left( {2{x^2} - y - 8y} \right)\left( {2{x^2} - y + 8y} \right) = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)$

$ + )\; - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( { - x} \right)^3} + 3.{x^2}.2y + 3.\left( { - x} \right).{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} = {\left( { - x + 2y} \right)^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}$

$ + )\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^4} - {y^4}} \right)$

$ = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$

Nên A, B, C đúng. D sai.

Câu 31 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn ${\left( {x + 5} \right)^2} - 2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} = 49$

A

$1$
B

$2$
C

$3$
D

Vô số

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi vế trái từ đó đưa về dạng ${A^2} = {m^2}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{\left( {x + 5} \right)^2} - 2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {\left( {\left( {x + 5} \right) - \left( {x - 2} \right)} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 5 - x + 2} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow {7^2} = 49\end{array}$

Vậy với mọi $x$ đều thỏa mãn.

Câu 32 :

Rút gọn biểu thức $B = (x - 2)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x$

A

$x-8$
B

$8-4x$
C

$8-x$
D

$4x - 8$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$ và ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$ để biến đổi và rút gọn $B.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}B = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 3x\\B = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x.2 + {2^2}} \right) - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 3x\\B = {x^3} - {2^3} - x.{x^2} + x.1 + 3x\\B = {x^3} - 8 - {x^3} + x + 3x\\B = 4x - 8\end{array}$

Câu 33 :

Tìm giá trị của $x$ thỏa mãn $x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0$

A

$x = \dfrac{7}{2}$ hoặc $x = - 2$
B

$x = \dfrac{{ - 7}}{2}$ hoặc $x = 2$
C

$x = \dfrac{7}{2}$ hoặc $x = 2$
D

$x = \dfrac{{ - 7}}{2}$ hoặc $x = - 2$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Để tích các đa thức bằng 0 thì giá trị từng đa thức phải bằng 0.

Suy ra giá trị x cần tìm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,x\left( {2x - 7} \right) - 4x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x - 7} \right) - 2\left( {2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\x = 2\end{array} \right..\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{7}{2}$ hoặc $x = 2$.

Câu 34 :

Chọn câu đúng nhất:

A

${x^2} - 2x - 4{y^2} - 4y = \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x + 2y} \right)$
B

${x^2} + {y^2}x + {x^2}y + xy - x - y = \left( {x + xy - 1} \right)\left( {x + y} \right)$
C

Cả A, B đều đúng
D

Cả A, B đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp phân phối phép nhân và phép trừ, giao hoán, kết hợp để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

Sau đó, nhóm hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.

Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} + ){x^2} - 2x - 4{y^2} - 4y\\ = \left( {{x^2} - 4{y^2}} \right) - \left( {2x + 4y} \right)\\ = \left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) - 2\left( {x + 2y} \right)\\ = \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x + 2y} \right).\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\;{x^2} + {y^2}x + {x^2}y + xy - x - y\\ = \left( {{x^2} + xy} \right) + \left( {{y^2}x + {x^2}y} \right) - \left( {x + y} \right)\\ = x\left( {x + y} \right) + xy\left( {y + x} \right) - \left( {x + y} \right)\\ = \left( {x + xy - 1} \right)\left( {x + y} \right)\end{array}$

Vậy A, B đều đúng.

Câu 35 :

Tổng các giá trị của $x$ thỏa mãn $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0$ là

A

$2$
B

$ - 1$
C

$1$
D

$0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Từ đó đưa về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}x(x - 1)\left( {x + 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = - 1$ hoặc $x = 1$.

Tổng các giá trị của $x$ là $1 + \left( { - 1} \right) = 0.$

Câu 36 :

Tính giá trị của biểu thức $B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x$ khi ${x^3} - x = 6$:

A

$36$
B

$42$
C

$48$
D

$56$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp và tách hạng tử (tách hạng tử thứ 2 thành 2 hạng tử giống nhau) để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.

+ Sau khi tách hạng tử, nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung giống với ${x^3} - x$.

+ Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.

+ Sau đó thế biểu thức ${x^3} - x = 6$ vào biểu thức vừa biến đổi để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = {x^6} - {x^4} - {x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^6} - {x^4}} \right) - \left( {{x^4} - {x^2}} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = {x^3}\left( {{x^3} - x} \right) - x\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\end{array}$

Tại ${x^3} - x = 6$, ta có: $B = \left( {6 + 1} \right).6 = 7.6 = 42$

Câu 37 :

Phân tích đa thức $\;2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy$ thành nhân tử ta được

A

$2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right)$
B

$2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y - 1} \right)$
C

$xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right)$
D

$2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x - y + 1} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp nhằm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới. Từ đó biến đổi tiếp để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}2{x^3}y - 2x{y^3} - 4x{y^2} - 2xy\\ = 2xy\left( {{x^2} - {y^2} - 2y - 1} \right)\\ = 2xy\left[ {{x^2} - \left( {{y^2} + 2y + 1} \right)} \right]\\ = 2xy\left[ {{x^2} - {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \right]\\ = 2xy\left( {x - y - 1} \right)\left( {x + y + 1} \right).\end{array}$

Câu 38 :

Chọn câu sai:

A

$16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right)$
B

$16{x^3} - 54{y^3} = 2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right)$
C

$16{x^3} - 54{y^3} = 2\left( {2x - 3y} \right){\left( {2x + 3y} \right)^2}$
D

$16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y = \left( {4{x^2} - 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử để phân tích

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} + )\,16{x^4}\left( {x - y} \right) - x + y\\ = 16{x^4}\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)\\ = \left( {16{x^4} - 1} \right)\left( {x - y} \right)\\ = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^4} - 1} \right]\left( {x - y} \right)\\ = \left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {\left( {2{x^2}} \right) + 1} \right]\left( {x - y} \right)\\ = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\left( {4{x^2} + 1} \right)\left( {x - y} \right).\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\;16{x^3} - 54{y^3}\\ = 2\left( {8{x^3} - 27{y^3}} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {{\left( {3y} \right)}^3}} \right]\\ = 2\left( {2x - 3y} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right]\\ = 2\left( {2x - 3y} \right)\left( {4{x^2} + 6xy + 9{y^2}} \right).\end{array}$

Vậy A, B, D đúng. C sai

Câu 39 :

Tìm $x$ biết ${\left( {2x - 3} \right)^2} - 4{x^2} + 9 = 0$

A

$x = \dfrac{1}{2}$
B

$x = - \dfrac{3}{2}$
C

$x = \dfrac{3}{2}$
D

$x = \dfrac{2}{3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được dạng $A.B.C = 0$

- Suy ra $A = 0 $ hoặc $B = 0$ hoặc $C = 0.$

- Suy ra các giá trị của $x$ cần tìm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{\left( {2x - 3} \right)^2} - 4{x^2} + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {4{x^2} - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - {3^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} - \left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( {2x - 3 - 2x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( { - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy $x = \dfrac{3}{2}$.

Câu 40 :

Tìm $x$ biết ${x^3} - {x^2} - x + 1 = 0$

A

$x = 1$ hoặc $x = - 1$
B

$x = - 1$ hoặc $x = 0$
C

$x = 1$ hoặc $x = 0$
D

$x = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được dạng $A.B.C = 0$

- Suy ra $A = 0$ hoặc $B = 0$ hoặc $C = 0.$

- Suy ra các giá trị của $x$ cần tìm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - {x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {x^2}} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = 1$ hoặc $x = - 1$.

Câu 41 :

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ${x^3} - 5x + 4$ ta được

A

$\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)$
B

$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 4} \right)$
C

$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right)$
D

$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} - 5x + 4\\ = {x^3} - x - 4x + 4\\ = x\left( {{x^2} - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\\ = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)\\ = \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 1} \right) - 4} \right]\\ = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x - 4} \right).\end{array}$

Câu 42 :

Thực hiện phép tính: $\left( {4{x^4} - 4{x^3} + 3x - 3} \right):\left( {x - 1} \right)$

A

$4{x^2} + 3$
B

$4{x^3} - 3$
C

$4{x^2} - 3$
D

$4{x^3} + 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia, thực hiện phép tính (Hoặc biến đổi số bị chia thành tích các đa thức trong đó có 1 đa thức giống số chia, sau đó thực hiện phép tính).

Lời giải chi tiết :

$\left( {4{x^4} - 4{x^3} + 3x - 3} \right):\left( {x - 1} \right) = 4{x^3} + 3$

Câu 43 :

Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{4{x^3} - 5{x^2} + 1}}{{{x} - 1}}$

A

$4{x^2} - x - 1$
B

$4{x^2} + x - 1$
C

$4{x^2} + x + 1$
D

$4{x^2} - x + 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Kết hợp các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và thực hiện phép tính chia để thu được biểu thức rút gọn.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = \dfrac{{4{x^3} - 5{x^2} + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^3} - 4{x^2} - {x^2} + 1}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 4{x^2} - x - 1.\end{array}$

Câu 44 :

Thực hiện phép tính $A = \left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right)$ ta được

A

$3x - 1$
B

$3x + 1$
C

$3x$
D

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đặt tính theo hàng dọc rồi thực hiện phép chia để tìm thương

Lời giải chi tiết :

$\left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right)$

$\left( {6{x^3} - 5{x^2} + 4x - 1} \right):\left( {2{x^2} - x + 1} \right) = 3x - 1.$

Câu 45 :

Phân tích đa thức thành nhân tử ta được ${x^3} + 7{x^2} + 12x + 4 = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + a.x + 2} \right)$ . Khi đó giá trị của $a$ là:

A

$5$
B

$ - 6$
C

$ - 5$
D

$6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l} + )\;{x^3} + 7{x^2} + 12x + 4\\ = {x^3} + 6{x^2} + {x^2} + 12x + 8 - 4\\ = \left( {{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8} \right) + \left( {{x^2} - 4} \right)\\ = \left( {{x^3} + 3.2.{x^2} + {{3.2}^2}.x + {2^3}} \right) + \left( {{x^2} - 4} \right)\\ = {\left( {x + 2} \right)^3} + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + x - 2} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4 + x - 2} \right)\\ = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 5x + 2} \right)\end{array}$

Câu 46 :

Có bao nhiêu giá trị của $x$ thỏa mãn $\,2{x^3}\left( {2x - 3} \right) - {x^2}\left( {4{x^2} - 6x + 2} \right) = 0$

A

$2$
B

$3$
C

$0$
D

$1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Nhân đơn thức với đa thức rồi cộng trừ các hạng tử đồng dạng để biến đổi biểu thức thành tích các đa thức và đơn thức có dạng: $A.B = 0,$ suy ra $A = 0$ hoặc $B = 0,$ từ đó rút ra giá trị của $x$ cần tìm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}2{x^3}\left( {2x - 3} \right) - {x^2}\left( {4{x^2} - 6x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^4} - 6{x^3} - 4{x^4} + 6{x^3} - 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow - 2{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}$

Vậy $x = 0.$

Có $1$ giá trị của $x$ thỏa mãn đề bài.

Câu 47 :

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} - x + 1$ là:

A

$\dfrac{2}{4}$
B

$\dfrac{3}{4}$
C

$1$
D

$ - \dfrac{3}{4}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Biến đổi đưa về dạng ${\left( {x - a} \right)^2} + m$ rồi đánh giá ${\left( {x - a} \right)^2} + m \ge m$

Giá trị nhỏ nhất của ${\left( {x - a} \right)^2} + m$ là $m \Leftrightarrow x = a.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \;Min\;A = \dfrac{3}{4}\;\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0$ hay $x = \dfrac{1}{2}$.

Câu 48 :

Giá trị lớn nhất của biểu thức $B = - 9{x^2} + 2x - \dfrac{2}{9}$ là:

A

$\dfrac{2}{9}$
B

$ - \dfrac{2}{9}$
C

$\dfrac{1}{9}$
D

$ - \dfrac{1}{9}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi đưa về dạng $ - {\left( {x - a} \right)^2} + m$ rồi đánh giá $ - {\left( {x - a} \right)^2} + m \le m$

Giá trị lớ nhất của $ - {\left( {x - a} \right)^2} + m$ là $m \Leftrightarrow x = a.$

Lời giải chi tiết :

$B = - 9{x^2} + 2x - \dfrac{2}{9} $$= - {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.\dfrac{1}{3} - {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^2} - \dfrac{1}{9} $$= - \left( {{{\left( {3x} \right)}^2} - 2.3x.\dfrac{1}{3} + {{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)}^2}} \right) - \dfrac{1}{9} $$= - {\left( {3x - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - \dfrac{1}{9} \le - \dfrac{1}{9}$

$ \Rightarrow \;Max\;B = - \dfrac{1}{9}$.

Dấu “=” xảy ra khi ${\left( {3x - \dfrac{1}{3}} \right)^2} = 0$ hay $x = \dfrac{1}{9}$.

Câu 49 :

Tính giá trị biểu thức $P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)$ cho $x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}$;

A

$P = - \dfrac{{19}}{8}$
B

$P = \dfrac{{19}}{8}$
C

$P = \dfrac{8}{{19}}$
D

$P = \dfrac{9}{8}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Rút gọn biểu thức đã cho, sau đó thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\\ \Leftrightarrow P = \left( { - 4{x^3}{y^3}} \right):2x{y^2} + {x^3}{y^4}:2x{y^2} - xy.2x + xy.xy\\ \Leftrightarrow P = - 2{x^2}y + \dfrac{1}{2}{x^2}{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{3}{2}{x^2}{y^2} - 4{x^2}y\\ \Leftrightarrow P = {x^2}y\left( {\dfrac{3}{2}y - 4} \right)\end{array}$

Tại $x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}$, ta có: $P = {1^2}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 3}}{4} - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 19}}{4}} \right) = \dfrac{{19}}{8}$

Câu 50 :

Phân tích đa thức ${x^8} + {x^4} + 1$ thành nhân tử ta được

A

$\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} - x - 1} \right)$
B

$\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$
C

$\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$
D

$\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung hoặc các hằng đẳng thức.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}{x^8} + {x^4} + 1\\ = {x^8} + 2{x^4} + 1 - {x^4}\\ = \left( {{x^8} + 2{x^4} + 1} \right) - {x^4}\\ = \left[ {{{\left( {{x^4}} \right)}^2} + 2.{x^4}.1 + {1^2}} \right] - {x^4}\\ = {\left( {{x^4} + 1} \right)^2} - {\left( {{x^2}} \right)^2}\\ = \left( {{x^4} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{x^4} + 1 + {x^2}} \right)\\ = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} + 2{x^2} - {x^2} + 1} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left[ {\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} + 2.1.{x^2} + 1} \right) - {x^2}} \right]\\ = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}} \right]\\ = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1 + x} \right)\\ = \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).\end{array}$

Câu 51 :

Cho $S = 1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5}$, chọn câu đúng

A

$xS - S = {x^6} - 1$
B

$xS - S = {x^6}$
C

$xS - S = {x^6} + 1$
D

$xS - S = {x^7} - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức để tìm ra đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

$xS = x.(1 + x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5}) = x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5} + {x^6}.$

$ \Rightarrow xS - S = x + {x^2} + {x^3} + {x^4} + {x^5} + {x^6} - 1 - x - {x^2} - {x^3} - {x^4} - {x^5} = {x^6} - 1.$

Câu 52 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A

$A=3$
B

$A=-17$
C

$A=-3$
D

$A=17$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng $C = a^2 + b^2 + c.$

- Khi đó, $A \ge c$ với mọi $x.$

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của $A.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\\ \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\\ \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\\ \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\end{array}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$ với mọi $x;y$ nên $A \ge - 17$ với mọi $x;y.$

$ \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy $A$ đạt giá trị nhỏ nhất là $A = - 17$ tại $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$.

Câu 53 :

Cho: ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ thì

A

$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 0$.
B

$a = b = c$
C

$a = b = c = 0$
D

$a = b = c$ hoặc $a + b + c = 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức: ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$ để biến đổi giả thiết.

Lời giải chi tiết :

Từ đẳng thức đã cho suy ra ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$

${b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - bc} \right) $$= \left( {b + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right] $$= {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right)$

$ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc $$= {a^3} + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) - 3abc $

$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc= {a^3} + {\left( {b + c} \right)^3} - 3bc\left( {b + c} \right) - 3abc$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc $$= \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - \left[ {3bc\left( {b + c} \right) + 3abc} \right]$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2}} \right) - 3bc\left( {a + b + c} \right)$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - a\left( {b + c} \right) + {{\left( {b + c} \right)}^2} - 3bc} \right)$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} - ab - ac + {b^2} + 2bc + {c^2} - 3bc} \right)$$ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc} \right)$

Do đó nếu ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0$ thì $a + b + c = 0$ hoặc ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = 0$

Mà ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac = \dfrac{1}{2}.\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]$ suy ra $a = b = c$.

Bài liên quan

Trắc nghiệm Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức Toán 8

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Toán 8

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức Toán 8

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 1 Toán 8

Trắc nghiệm Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8

Trắc nghiệm Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức Toán 8

Trắc nghiệm Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8

Trắc nghiệm Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Toán 8

Trắc nghiệm Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức Toán 8