Trắc nghiệm Bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Hãy chọn câu sai:
Câu 2 :
Hãy chọn câu đúng. Nếu \(a > b\) thì:
Câu 3 :
Hãy chọn câu sai. Nếu \(a < b\) thì:
Câu 4 :
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
Câu 5 :
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
Câu 6 :
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
Câu 7 :
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
Câu 8 :
Cho \( - 2018a < - 2018b\). Khi đó
Câu 9 :
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 10 :
Cho \(x + y > 1.\) Chọn khẳng định đúng
Câu 11 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
Câu 12 :
Cho \(a \ge b > 0\). Khẳng định nào đúng?
Câu 13 :
Cho \(x > 0;y > 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau? \(\left( 1 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\) \(\left( 2 \right)\;\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0\) \(\left( 3 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) < 4\)
Câu 14 :
So sánh \(m\) và \({m^2}\) với \(0 < m < 1\) .
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Hãy chọn câu sai:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức. + Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. + Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Lời giải chi tiết :
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. Từ đó với \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac < bc\) nên A sai.
Câu 2 :
Hãy chọn câu đúng. Nếu \(a > b\) thì:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng - Sử dụng tinh chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân Lời giải chi tiết :
+ Với \(a > b\), nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \( - 3\) ta được \( - 3a < - 3b\) . Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 1\) ta được \( - 3a - 1 < - 3b - 1\) nên A sai. + Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 \)\(\Leftrightarrow - 3\left( {a - 1} \right) < - 3\left( {b - 1} \right)\) nên B đúng, C sai + Vì \(a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1\)\( \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)\) nên D sai.
Câu 3 :
Hãy chọn câu sai. Nếu \(a < b\) thì:
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng - Sử dụng tinh chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân Lời giải chi tiết :
+ Vì \(a < b \Leftrightarrow 4a < 4b \Leftrightarrow 4a + 1 < 4b + 1 < 4b + 5\)hay \(4a + 1 < 4b + 5\) nên A đúng. + Vì \(a < b \Leftrightarrow - 2a > - 2b \Leftrightarrow 7 - 2a > 7 - 2b > 4 - 2b\) hay \(7 - 2a > 4 - 2b\) nên B đúng. + Vì \(a < b \Leftrightarrow a - b < b - b \Leftrightarrow a - b < 0\) nên C đúng. + Vì \(a < b \Leftrightarrow - 3a > - 3b \Leftrightarrow 6 - 3a > 6 - 3b\) nên D sai.
Câu 4 :
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a + 1 \le b + 2\) với \(2 > 0\) ta được \(2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 2a + 2 \le 2b + 4\) .
Câu 5 :
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng. +) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: \( - 2x + 3 < - 2y + 3\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow - 2x + 3 - 3 < - 2y + 3 - 3\\ \Rightarrow - 2x < - 2y\\ \Rightarrow - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)x > - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)y\\ \Rightarrow x > y.\end{array}\)
Câu 6 :
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều. +) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều. +) Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh. Lời giải chi tiết :
* Với \(a > b > 0\) ta có: +) \(a.a > a.b \Leftrightarrow {a^2} > ab\;\;\) +) Ta có: \({a^2} > ab \Rightarrow {a^2}.a > a.ab \Leftrightarrow {a^3} > {a^2}b\) Mà \(a > b > 0 \Rightarrow ab > b.b \Leftrightarrow ab > {b^2} \Rightarrow ab.a > {b^2}.b \Rightarrow {a^2}b > {b^3}.\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2}b > {b^3} \Rightarrow {a^3} > {a^2}b > {b^3}\\ \Rightarrow {a^3} > {b^3}\;\;\end{array}\) Vậy \({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
Câu 7 :
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\) +) Đưa về hằng đẳng thức và đánh giá. Lời giải chi tiết :
Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(a,\,b\) ) Nên \(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
Câu 8 :
Cho \( - 2018a < - 2018b\). Khi đó
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Ta có \( - 2018a < - 2018b\) \( \Leftrightarrow - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)a > - 2018.\left( { - \dfrac{1}{{2018}}} \right)b \) \(\Leftrightarrow a > b\) .
Câu 9 :
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\) +) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\). Lời giải chi tiết :
\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\) \( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) ) Nên \(P \ge 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .
Câu 10 :
Cho \(x + y > 1.\) Chọn khẳng định đúng
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản + Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng. + Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Lời giải chi tiết :
Từ $x + y > 1$ , bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} > 1$ (1) Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$(2) Cộng từng vế (1) với (2) được $2{x^2} + 2{y^2} > 1.$ Chia hai vế cho $2$ được ${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}.$
Câu 11 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của \(a,\,b\). Lời giải chi tiết :
Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$ $ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).
Câu 12 :
Cho \(a \ge b > 0\). Khẳng định nào đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Phương pháp xét hiệu \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}}\) +) Quy đồng mẫu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\). Lời giải chi tiết :
\(P = \;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}} \)\(= \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{4}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\; = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\\ = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\) Do \(a + b > 0;\;ab > 0\) và \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall \;a,\;b\) nên \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0\) hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).
Câu 13 :
Cho \(x > 0;y > 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau? \(\left( 1 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\) \(\left( 2 \right)\;\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0\) \(\left( 3 \right)\;\;\;(x + y)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) < 4\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi các biểu thức đã cho để tìm khẳng định đúng. Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: \(\begin{array}{l}\left( 1 \right):\;\;\;\left( {x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) \ge 4\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} + 1 \ge 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}} \ge 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\;\;\;\;\left( {do\;\;x,\;y > 0 \Rightarrow xy > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall x,\;y > 0.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Khẳng định (1) đúng. \(\left( 2 \right):\;\;\;{x^2} + {y^3} \le 0.\) Với \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{y^3} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^3} > 0.\) \( \Rightarrow \) Khẳng định (2) sai. Khẳng định (1) đúng \( \Rightarrow \) Khẳng định (3) sai.
Câu 14 :
So sánh \(m\) và \({m^2}\) với \(0 < m < 1\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Sử dụng phương pháp xét hiệu. Lời giải chi tiết :
Xét hiệu \({m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\) ta có: Vì \(0 < m < 1 \Rightarrow m - 1 < 0 \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) < 0.\) Hay \({m^2} - m < 0 \Leftrightarrow {m^2} < m.\) Vậy \({m^2} < m.\)
|
