Trắc nghiệm Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8Đề bài
Câu 1 :
Chọn câu đúng.
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Câu 3 :
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
Câu 4 :
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
Câu 5 :
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
Câu 6 :
Chọn câu đúng.
Câu 7 :
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
Câu 9 :
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
Câu 10 :
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
Câu 11 :
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
Câu 12 :
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
Câu 13 :
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
Câu 14 :
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
Câu 15 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
Câu 16 :
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
Câu 17 :
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
Câu 18 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Câu 19 :
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
Câu 20 :
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Câu 21 :
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\) Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
Câu 22 :
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
Câu 23 :
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ Chú ý
Một số em có thể nhớ nhầm công thức thành bình phương của một hiệu, dẫn đến chọn sai đáp án.
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có $\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai. Chú ý
Một số em có thể chọn đáp án C sai do nhầm dấu khi khai triển hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Câu 3 :
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)\) Chú ý
Một số em có thể khai triển sai \(4{x^2} - 25{y^2} = \left( {4x - 5y} \right)\left( {4x + 5y} \right)\) do không biến đổi \(4{x^2} = {\left( {2x} \right)^2}\) .
Câu 4 :
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {3x - 4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}\) Chú ý
Một số em có thể nhớ nhầm hằng đẳng thức thành \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - AB + {B^2}\) từ đó ra đáp án B sai. Hoặc thực hiện phép bình phương sai \({\left( {4y} \right)^2} = 4{y^2}\) dẫn đến chọn C sai.
Câu 5 :
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\dfrac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\dfrac{1}{2}xy + {1^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}\) Chú ý
Một số em có thể nhầm sang hằng đẳng thức bình phương một hiệu nên chọn D sai. Hoặc phân tích sai \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} = {\left( {\dfrac{1}{4}xy} \right)^2}\) nên chọn A sai.
Câu 6 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức hiệu hai bình phương \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Lời giải chi tiết :
Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai. ${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai. ${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai. $\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$ Nên C đúng. Chú ý
Một số em có thể nhầm dấu khi phá ngoặc nên chọn đáp án A, B, D sai.
Câu 7 :
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \) \(= - 15x + 1\) Chú ý
Một số em có thể nhầm dấu khi thực hiện phép tính \( - 9x\left( {x + 1} \right) = - 9{x^2} + 9x\) nên dẫn đến chọn đáp án B sai.
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)\) \( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a\) \( = - 19\) Chú ý
Một số em có thể nhầm dấu dẫn đến chọn C sai.
Câu 9 :
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng các công thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) rồi rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$\( = \dfrac{{{x^2} + 2.x.5 + {5^2} + {x^2} - 2.x.5 + {5^2}}}{{{x^2} + 25}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}}\) \( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\) \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{4{x^2} + 2.2x.5 + {5^2} + 25{x^2} - 2.5x.2 + {2^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\) Vậy $D=29;C=2$ suy ra \(D = 14C + 1\) (do $29=14.2+1$).
Câu 10 :
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x - 6 = 0\\4 - 3x = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{7}\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu. Chú ý
Các em có thể giải bằng cách: \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {5x - 5} \right)^2}\) Khi đó đưa về hai trường hợp \(2x - 1 = 5x - 5\) hoặc \(2x - 1 = - \left( {5x - 5} \right)\) Suy ra \(x = \dfrac{4}{3}\) hoặc \(x = \dfrac{6}{7}\) .
Câu 11 :
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) , \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để đưa về dạng tìm \(x\) đã biết. Lời giải chi tiết :
Ta có $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$ \({x^2} - 36 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9 \) \({x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 - 9 = 0\) \(- 6x - 54 = 0\) \(6x = - 54 \) \( x = - 9.\) Vậy \(x = - 9.\) Chú ý
Một số em có thể nhầm dấu trong phép toán cuối dẫn đến chọn B sai. Hoặc coi vế phải bằng \(0\) dẫn đến chọn D sai.
Câu 12 :
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi \(A\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) Sau đó so sánh \(A\) và \(B\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = 2016.2018.a\)\( = \left( {2017 - 1} \right)\left( {2017 + 1} \right)a = \left( {{{2017}^2} - 1} \right)a\) Vì \({2017^2} - 1 < {2017^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2017}^2} - 1} \right)a < {2017^2}a\) hay $A < B$ . Chú ý
Một số em có thể nhầm hằng đẳng thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} + {B^2}\) dẫn đến \(A = \left( {{{2017}^2} + 1} \right)a > {2017^2}a = B\) nên chọn C sai.
Câu 13 :
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi \(N\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) Sau đó so sánh \(M\) và \(N\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(N = \left( {2 + 1} \right)\)\(\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = 3\left( {{2^2} + 1} \right)\)\(\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\) \( = \left[ {\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)} \right]\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\) \( = \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {\left( {{2^{16}}} \right)^2} - 1 = {2^{32}} - 1\) mà \({2^{32}} - 1 < {2^{32}} \Rightarrow N < M\)
Câu 14 :
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi \(P\) về dạng \(m - {\left( {A - B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = - 4{x^2} + 4x - 2 \)\(= - 4{x^2} + 4x - 1 - 1 \)\(= - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 1\)\( = - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) Nhận thấy \( - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le - 1,\,\forall x\) hay \(P \le - 1.\) Chú ý
Một số em có thể đánh giá nhầm \( - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} > - 1,\,\forall x\) dẫn đến chọn B sai.
Câu 15 :
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi \(Q\) về dạng \(m - {\left( {A + B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(m\) khi \(A = - B\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)\( = - {x^2} - 8x - 16 + 16 + 8 \)\(= - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \) \(= 24 - {\left( {x + 4} \right)^2}\) Nhận thấy \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \)\(\Rightarrow 24 - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 24.\) Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x = - 4\) Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(24\) khi \(x = - 4.\) Chú ý
Một số em có thể sai khi thêm bớt vào biểu thức \(Q:\) \(Q = 8 - 8x - {x^2} \)\(= - {x^2} - 8x - 16 + 8 \) \(= 8 - {\left( {x - 4} \right)^2}\) Nên ra đáp án A sai.
Câu 16 :
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi \(E\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) Giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(m\) khi \(A = B\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1\) Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.\) Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(1\) khi \(x = 10.\) Chú ý
Các em có thể thay lần lượt từng đáp án vào biểu thức \(E\) rồi nhận giá trị nhỏ nhất thu được. Tuy nhiên cách làm này không giúp các em hiểu rõ bản chất bài toán, chỉ phù hợp để làm trắc nghiệm.
Câu 17 :
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi \(K\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m \ge m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) và \(C = D.\) Giá trị nhỏ nhất của \(K\) là \(m\) khi \(A = B\) và \(C = D.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\)\( = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7\)\( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7\) Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \( - 7\) khi \(x = 3;y = 2\) . Chú ý
Các em có thể nhầm dấu trong phép đánh gía cuối \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge 7\) dẫn đến chọn D sai.
Câu 18 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Biến đổi \(I\) về dạng \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m.\) Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) và \(C = - D\). Giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(m\) khi \(A = - B\) và \(C = - D.\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(C = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\)\( = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\) \( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\) Ta có \({x^2} + 4x + 5 = {x^2} + 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 1;\,\forall x\) Và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)\( \ge 1 + 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 5\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = - 2\) Vậy giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(5\) khi \(x = - 2.\) Chú ý
Một số em đánh giá sai \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) dẫn đến ra kết quả sai là \(4\) .
Câu 19 :
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hẳng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right).c + {c^2}\) \( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\) . Chú ý
Các em có thể thiếu hệ số \(2\) ở phép biến đổi đầu tiên \( = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2} \)\(= {\left( {a + b} \right)^2} + \left( {a + b} \right).c + {c^2}\) Dẫn đến ra đáp án B sai.
Câu 20 :
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để rút gọn A Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào biểu thức đã rút gọn để tính toán Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) \( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12\) \( = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12\) \( = 36{x^2} - 4\) Vậy \(A = 36{x^2} - 4\) Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào \(A = 36{x^2} - 4\) ta được \(A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0\)
Câu 21 :
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\) Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét hiệu \(M - N\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) Sử dụng tổng \(m\) số tự nhiên \(1,2,3,...,m\) là \(\dfrac{{\left( {m + 1} \right)m}}{2}\) Lời giải chi tiết :
Xét \(M - N = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2} - \left( {{{76}^2} + {{74}^2} + {{72}^2} + ... + {2^2}} \right)\) \( = \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{71}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\) \( = \left( {77 + 76} \right)\left( {77 - 76} \right) + \left( {75 + 74} \right)\left( {75 - 74} \right) + ... + \left( {3 + 2} \right)\left( {3 - 2} \right) + 1\) \( = \left( {77 + 76} \right).1 + \left( {75 + 74} \right).1 + ... + \left( {3 + 2} \right).1 + 1\) \( = 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + ... + 3 + 2 + 1\) \( = \dfrac{{77 + 1}}{2}.77 = 3003\) Từ đó \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3003 - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3000}}{{3000}} = 1\)
Câu 22 :
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc,\)\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) Sử dụng \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\forall a,b\) và \({A^2} + {B^2} \ge 0;\,\forall A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = 3ab + 3ac + 3bc\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0\) \( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\) Lại thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)
Câu 23 :
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) Và số nguyên tố là số có 2 ước là 1 và chính nó. Lời giải chi tiết :
Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là \(y\) cây \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là \(x\) cây \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là \({y^2}\) cây Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là \({x^2}\) cây Theo bài ra ta có \({y^2} - {x^2} = 211\) \( \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 211\) Mà \(211\) là số nguyên tố và \(y - x < y + x\) nên ta có \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 1.211\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\y + x = 211\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) Từ (1) suy ra \(y = x + 1\), thay xuống (2) ta được \(x + 1 + x = 211 \Leftrightarrow 2x = 210 \Leftrightarrow x = 105\) Suy ra \(y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106\) Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là \({106^2} = 11236\) cây.
|
