Trắc nghiệm Hệ phương trình đối xứng Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\x.y = P\end{array} \right.$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
Câu 2 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( {x;y} \right)\) với \(x > y\) . Khi đó tích $xy$ bằng
Câu 3 :
Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.$
Câu 4 :
Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác $0$ của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5x - 2y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right.$
Câu 5 :
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
Câu 6 :
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$có bao nhiêu nghiệm?
Câu 7 :
Biết cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của \(m\) để \(P = xy + 2\left( {x + y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 8 :
Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\) có hai nghiệm $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ . Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng
Câu 9 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Câu 10 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = S\\x.y = P\end{array} \right.$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Hệ phương trình đối xứng loại 1 với cách đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P \Leftrightarrow {S^2} - 4P \ge 0\). Chú ý
Một số học sinh có thể tự suy ra điều kiện bằng cách dùng phương pháp thế. Rút \(y\) theo \(x\) ở phương trình đầu rồi thế vào phương trình còn lại ta được phương trình bậc hai ẩn \(x\) . Khi đó hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình bậc hai đó có nghiệm.
Câu 2 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( {x;y} \right)\) với \(x > y\) . Khi đó tích $xy$ bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Thêm bớt phương trình đầu để xuất hiện tổng \(x + y\) và tích $xy$ + Sử dụng phương pháp thế Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + 2xy - 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 0\end{array} \right.\) Từ \(xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\y = 0 \Rightarrow x = 2\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right);\left( {x;y} \right) = \left( {2;0} \right)\) Từ giả thiết \(x > y\) nên $x = 2;y = 0 \Rightarrow xy = 0$ Chú ý
Ta có thể dùng phương pháp thế: rút \(x\) theo \(y\) từ phương trình dưới thay lên phương trình trên rồi giải phương trình bậc hai một ẩn. \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 4\\x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\{\left( {2 - y} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - y\\2{y^2} - 4y = 0\end{array} \right.\)
Câu 3 :
Hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right.$
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$ + Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\) Lời giải chi tiết :
Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x.y + x + y = 11}\\{{x^2}y + x{y^2} = 30}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy + x + y = 11\\xy\left( {x + y} \right) = 30\end{array} \right.$ Đặt \(S = x + y;P = xy\,\left( {{S^2} \ge 4P} \right)\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 11\\S.P = 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 11 - P\\\left( {11 - P} \right).P = 30\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)
Xét phương trình \(\left( 1 \right):\) \(\,11P - {P^2} - 30 = 0 \Leftrightarrow {P^2} - 11P + 30 = 0 \Leftrightarrow \left( {P - 5} \right)\left( {P - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}P = 5 \Rightarrow S = 6\\P = 6 \Rightarrow S = 5\end{array} \right.\) ( tm \({S^2} \ge 4P\)) Với \(P = 5;S = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 5\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\x\left( {6 - x} \right) - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 6 - x\\{x^2} - 6x + 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) Với \(P = 6;S = 5\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 6\\x + y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\x\left( {5 - x} \right) - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 5 - x\\{x^2} - 5x + 6 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm $\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right),\left( {1;5} \right),\left( {5;1} \right).$ Chú ý
Các em có thể thay trực tiếp nghiệm ở mỗi phương án vào hệ ban đầu. Nếu thay vào thỏa mãn thì cặp số đó là nghiệm của hệ. Tuy nhiên cách này chỉ phù hợp khi làm trắc nghiệm, các em nên àm tự luận để hiểu rõ bản chất vấn đề.
Câu 4 :
Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác $0$ của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 5x - 2y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right.$
Đáp án : A Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. + Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình ta thu được phương trình tích. + Giải phương trình thu được sau đó kết hợp với phương trình còn lại ta tìm được \(x;y\) Lời giải chi tiết :
Trừ vế với vế của hai phương trình ta được \({x^2} - {y^2} = 5x - 2y - \left( {5y - 2x} \right) \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 7\left( {x - y} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - 7\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 7} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 7 - y\end{array} \right.\) +Với $x = y$ ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} = 5x - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} - 3x = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 0\\x = y = 3\end{array} \right.\) +Với \(x = 7 - y\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} = 5y - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} = 5y - 2\left( {7 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 7 - y\\{y^2} - 7y + 14 = 0\end{array} \right.\) (*) Vì \({y^2} - 7y + 14 = {\left( {y - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) nên hệ (*) vô nghiệm. Vậy nghiệm khác \(0\) của hệ là \(\left( {3;3} \right)\) . Chú ý
Các em có thể thay trực tiếp các phương án vào hệ. Nếu thỏa mãn thì cặp số đó là nghiệm của hệ.
Câu 5 :
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + y = 6\\{y^2} + x = 6\end{array} \right.$ có bao nhiêu nghiệm ?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. + Thực hiện phép trừ vế với vế của hai phương trình ta thu được phương trình tích. + Giải phương trình thu được sau đó kết hợp với phương trình còn lại ta tìm được \(x;y\) Lời giải chi tiết :
Trừ vế với vế của hai phương trình ta được \({x^2} - {y^2} + y - x = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) - \left( {x - y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x = 1 - y\end{array} \right.\) Với $x = y$ ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\{x^2} + x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = 2\\x = y = - 3\end{array} \right.\) Với \(x = 1 - y\) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} + 1 - y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{y^2} - y - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{21}}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\{\left( {y - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - y\\\left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21} + 1}}{2}\\y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{\sqrt {21} + 1}}{2}\\x = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm \(\left( {2;2} \right);\left( { - 3; - 3} \right);\left( {\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2}} \right);\left( {\dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2}} \right)\)
Câu 6 :
Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.$có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Thêm bớt phương trình dưới để xuất hiện tổng \(x + y\) và tích $xy$ + Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$ + Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\) Lời giải chi tiết :
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + xy = 5\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 5\end{array} \right.\) + Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}S + P = 5\\{S^2} - 2P = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) = 5\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\{S^2} + 2S - 15 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P = 5 - S\\\left[ \begin{array}{l}S = 3\\S = - 5\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S = 3\\P = 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}S = - 5\\P = 10\end{array} \right.\end{array} \right.\) mà \({S^2} \ge 4P\) nên \(S = 3;P = 2\) + Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\x\left( {3 - x} \right) - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3 - x\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1;y = 2\\x = 2;y = 1\end{array} \right.\) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm. Chú ý
Một số em có thể bỏ qua điều kiện \({S^2} \ge 4P\) dẫn đến mất nhiều thời gian hơn và có thể tính toán sai dẫn đến sai đáp án.
Câu 7 :
Biết cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6\end{array} \right.\) . Tìm giá trị của \(m\) để \(P = xy + 2\left( {x + y} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Đáp án : A Phương pháp giải :
+ Biến đổi phương trình để xuất hiện tổng $S = x + y$ và tích $P = xy$ + Sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ đối xứng loại 1 : \({S^2} - 4P \ge 0\) để tìm điều kiện của \(m\) + Thay tổng $x + y$ và tích $xy$ vào \(P\) sau đó đánh giá \(P\) theo \(m\) . Lời giải chi tiết :
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{x^2} + {y^2} = - {m^2} + 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = - {m^2} + 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\{m^2} - 2xy = - {m^2} + 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = m\\xy = {m^2} - 3\end{array} \right.\) Điều kiện để hệ trên có nghiệm là \({m^2} - 4\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow 12 - 3{m^2} \ge 0\) \( \Leftrightarrow {m^2} - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2\) Khi đó thay \(x + y = m;xy = {m^2} - 3\) vào \(P\) ta được \(P = {m^2} - 3 + 2m = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4 \ge - 4\) Dấu ‘=’ xảy ra khi \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) (thỏa mãn) Vậy \({P_{\min }} = - 4 \Leftrightarrow m = - 1\) Chú ý
Một số em có thể đánh giá sai \(P\) (do nhầm hằng đẳng thức) nên chọn phương án C sai.
Câu 8 :
Biết hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\) có hai nghiệm $\left( {{x_1};{y_1}} \right);\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ . Tổng \({x_1} + {x_2}\) bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình đầu tiên sao cho xuất hiện \(x + y\) và $xy$ + Đặt \(S = x + y;P = xy\) ta được hệ phương trình ẩn $S,P$ + Sử dụng phương pháp thế để tìm \(S,P\) . Kiểm tra điều kiện \({S^2} \ge 4P\) sau đó thay trở lại cách đặt để tìm \(x;y\) + \(x;y\) là nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ . Lời giải chi tiết :
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy} \right] = 19\\\left( {x + y} \right)\left( {8 + xy} \right) = 2\end{array} \right.\) + Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}S = x + y\\P = x.y\end{array} \right.\) điều kiện \({S^2} \ge 4P\) hệ phương trình đã cho trở thành: \(\left\{ \begin{array}{l}S\left( {{S^2} - 3P} \right) = 19\\S\left( {8 + P} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} - 3\left( {2 - 8S} \right) = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\{S^3} + 24S - 25 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SP = 2 - 8S\\\left( {S - 1} \right)\left( {{S^2} + S + 25} \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 1\\P = - 6\end{array} \right.\)(thỏa mãn) + Suy ra \(x,y\) là hai nghiệm của phương trình: \({X^2} - X - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {X - 3} \right)\left( {X + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {X_1} = 3;{X_2} = - 2\) Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;3} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {3; - 2} \right)\) Từ đó \({x_1} = - 2;{x_2} = 3 \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 1\) Chú ý
Một số em có thể giải sai phương trình bậc hai \({X^2} - X - 6 = 0\) \( \Rightarrow {X_1} = 2;\,{X_2} = - 3\) dẫn đến ra đáp án A sai.
Câu 9 :
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng cách giải của hệ phương trình có yếu tố đẳng cấp: + Đặt \(y = tx\) sau đó biến đổi ta có phương trình ẩn \(t\) + Giải phương trình ta tìm được \(t\), từ đó ta tìm được \(x;y\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {y^3} + 2y\\{x^2} - 3 = 3\left( {{y^2} + 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {y^3} = 8x + 2y\\{x^2} - 3{y^2} = 6\end{array} \right.\) Vì thay \(x = 0\) vào hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 - {y^3} = 0 + 2y\\0 - 3{y^2} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = - 2\\ - {y^3} = 2y\end{array} \right.\) (vô lý) nên \(x = 0\) không là nghiệm của hệ . Đặt \(y = tx\), Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 8x = {t^3}{x^3} + 2tx\\{x^2} - 3 = 3\left( {{t^2}{x^2} + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - {t^3}} \right) = 2t + 8\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{1 - {t^3}}}{{1 - 3{t^2}}} = \dfrac{{t + 4}}{3}\) \( \Leftrightarrow 3\left( {1 - {t^3}} \right) = \left( {t + 4} \right)\left( {1 - 3{t^2}} \right) \Leftrightarrow 12{t^2} - t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{3}\\t = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\) * \(t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 9\\y = \dfrac{x}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = \pm 1\end{array} \right.\). * \(t = - \dfrac{1}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - x}}{4}\\{x^2}\left( {1 - 3{t^2}} \right) = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}}\\y = \mp \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}\end{array} \right.\). Suy ra hệ phương trình có các cặp nghiệm: \((x;y) = \)\(\left( {3,\,1} \right);\,\left( { - 3,\, - 1} \right);\left( {\dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\,\dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right);\,\left( { - \dfrac{{4\sqrt {78} }}{{13}},\, - \dfrac{{\sqrt {78} }}{{13}}} \right)\) Chú ý
Một số em có thể thử sai ở bước thay \(x = 0\) vào hệ dẫn đến hệ có thêm nghiệm nên chọn nhầm phương án B hoặc D.
Câu 10 :
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right.$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Biến đổi hệ để xuất hiện tổng \(S = x + y;P = xy\) đưa về hệ đối xứng loại 1 + Sử dụng điều kiện ${S^2} - 4P \ge 0$ để tìm điều kiện của \(m\) . Lời giải chi tiết :
Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{x^2} + {y^2} = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\{\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {m^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\xy = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}S = 4\\P = \dfrac{{16 - {m^2}}}{2}\end{array} \right.$ \( \Rightarrow {S^2} - 4P = 16 - 2\left( {16 - {m^2}} \right) = 2{m^2} - 16 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left| m \right| \ge \sqrt 8 \). Chú ý
Một số em giải sai điều kiện cuối cụ thể như quên giá trị tuyệt đối khi giải bất phương trình nên ra phương án C sai.
|
