Bài tập trắc nghiệm Toán 9

Trắc nghiệm Bài 3,4: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương Toán 9

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4}$ là?

A

$36$
B

$6$
C

$18$
D

$9$

Câu 2 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}$ là?

A

$\dfrac{9}{{13}}$
B

$\dfrac{9}{{169}}$
C

$\dfrac{3}{{13}}$
D

$\dfrac{{13}}{9}$

Câu 3 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}$ có kết quả là?

A

$35$
B

$5$
C

$- 35$
D

Không tồn tại.

Câu 4 :

Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {ab} = a\sqrt b$
B

$\sqrt a \sqrt b = b\sqrt a$
C

$\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$
D

$\sqrt {ab} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Câu 5 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}}$ là?

A

$9$
B

$-9$
C

$-3$
D

Không tồn tại.

Câu 6 :

Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{b}$
B

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$
C

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{{ - \sqrt a }}{{\sqrt b }}$
D

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{a}{{\sqrt b }}$

Câu 7 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}$ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được

A

$a\left( {2a - 1} \right)$
B

$\left( {1 - 2a} \right){a^2}$
C

$\left( {2a - 1} \right){a^2}$
D

$\left( {1 - 2a} \right)a$

Câu 8 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}$ với $0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được

A

$a\left( {2a - 3} \right)$
B

$\left( {3- 2a} \right){a^2}$
C

$\left( {2a - 3} \right){a^2}$
D

$\left( {3 - 2a} \right)a$

Câu 9 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}}$ với $b \ne 0$ ta được

A

$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
B

$\dfrac{a}{b}$
C

$- \dfrac{{{a^2}}}{b}$
D

$\dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}$ với $x > 3$ ta được

A

$0,3\left( {x - 3} \right)$
B

$0,3\left( {3 - x} \right)$
C

$0,9\left( {x - 3} \right)$
D

$0,1\left( {x - 3} \right)$

Câu 11 :

Giá trị biểu thức $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2}$ khi $x = \sqrt {29}$ là

A

$29$
B

$5$
C

$10$
D

$25$

Câu 12 :

Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}}$ với $0 < a < b$ ta được

A

$\dfrac{{\sqrt a }}{2}$
B

$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
C

$\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$
D

$a\sqrt b$

Câu 13 :

Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}}$ với $ab \ne 0$ ta được

A

$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
B

$12$
C

$6$
D

$36$

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được

A

$x$
B

$-x$
C

$\sqrt x$
D

$\sqrt {x + 2}$

Câu 15 :

Với $x > 5$ , cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$ .

Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$ .

A

$1$
B

$2$
C

$0$
D

Vô số.

Câu 16 :

Với $x,y \ge 0;x \ne y$ , rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$ ta được

A

$\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
B

$\dfrac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
C

$\dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
D

$\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Câu 17 :

Giá trị của biểu thức $(\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150}$ là:

A

$12 - 5\sqrt 6$
B

$12 + 5\sqrt 6$
C

$12 + \sqrt 6$
D

$12 - \sqrt 6$

Câu 18 :

Với $a \ge 0,b \ge 0,a \ne b$ , rút gọn biểu thức $\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}$ ta được:

A

$\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
B

$\dfrac{{\sqrt {ab} - 2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
C

$\dfrac{{2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
D

$\dfrac{{\sqrt {ab} - 2a}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$

Câu 19 :

Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm ${x_0}$ của phương trình $\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5}$

A

${x_0} < 5$
B

${x_0} > 8$
C

${x_0} > 9$
D

$5 < {x_0} < 7$

Câu 20 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4$ là

A

$x = - 9$
B

$x = 5$
C

$x = 8$
D

$x = 9$

Câu 21 :

Tính : $P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} }$

A
$P = 1$
B
$P = - 1$
C
$P = - \sqrt 3$
D
$P = \sqrt 3$

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}$ với $\left( {a > 0} \right)$

A

$A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}$
B

$A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}$
C

$A = \dfrac{{{a^2} - a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}$
D

$A = \dfrac{{{a^2} - a - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}$

Câu 23 :

Cho $Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ . Tìm $x$ để $Q = 3$

A
$x = \pm 1$
B
$x = 1$
C
$x = - 1$
D
Kết quả khác

Câu 24 :

Tính giá trị biểu thức $A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }}$ $+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}$

A
$1 - \sqrt {2021}$
B
$\sqrt {2021} - 1$
C

$\dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}$
D

$\dfrac{{\sqrt {2019} - 1}}{2}$

Câu 25 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$

A
$5$
B
$9$
C
$4$
D
$0$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4}$ là?

A

$36$
B

$6$
C

$18$
D

$9$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} = \sqrt {2,5.14,4} = \sqrt {36} = \sqrt {{6^2}} = 6$

Câu 2 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}}$ là?

A

$\dfrac{9}{{13}}$
B

$\dfrac{9}{{169}}$
C

$\dfrac{3}{{13}}$
D

$\dfrac{{13}}{9}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Câu 3 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}}$ có kết quả là?

A

$35$
B

$5$
C

$- 35$
D

Không tồn tại.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$ .

Chú ý

Học sinh thường quên dấu giá trị tuyệt đối khi sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ .

Câu 4 :

Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {ab} = a\sqrt b$
B

$\sqrt a \sqrt b = b\sqrt a$
C

$\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$
D

$\sqrt {ab} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một tích.

Lời giải chi tiết :

Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$ .

Câu 5 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}}$ là?

A

$9$
B

$-9$
C

$-3$
D

Không tồn tại.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $- 999 < 0;111 > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 999}}{{111}} < 0$ nên không tồn tại căn bậc hai của số âm

Chú ý

Học sinh thường bỏ qua điều kiện có nghĩa của căn dẫn đến tính toán sai.

Câu 6 :

Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{b}$
B

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$
C

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{{ - \sqrt a }}{{\sqrt b }}$
D

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{a}{{\sqrt b }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức căn thức bậc hai của một thương.

Lời giải chi tiết :

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

Câu 7 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}$ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được

A

$a\left( {2a - 1} \right)$
B

$\left( {1 - 2a} \right){a^2}$
C

$\left( {2a - 1} \right){a^2}$
D

$\left( {1 - 2a} \right)a$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^4}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}$

$= \left| {{a^2}} \right|.\left| {2a - 1} \right| = {a^2}.\left( {2a - 1} \right)$

(vì $a \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2a - 1 \ge 0$

$\Rightarrow \left| {2a - 1} \right| = 2a - 1$ )

Câu 8 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}}$ với $0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được

A

$a\left( {2a - 3} \right)$
B

$\left( {3- 2a} \right){a^2}$
C

$\left( {2a - 3} \right){a^2}$
D

$\left( {3 - 2a} \right)a$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} = \left| {{a}} \right|.\left| {2a - 3} \right|$ $= {a}.\left( {3-2a } \right)$

(vì $0 \le a <\dfrac{3}{2} \Rightarrow 2a - 3< 0$ $\Rightarrow \left| {2a - 3} \right| = 3-2a )$

Câu 9 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}}$ với $b \ne 0$ ta được

A

$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
B

$\dfrac{a}{b}$
C

$- \dfrac{{{a^2}}}{b}$
D

$\dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}}$ $= \dfrac{{\sqrt {{a^4}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {{a^2}} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{a^2}} \right|}}{{\left| b \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| b \right|}}$ .

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}$ với $x > 3$ ta được

A

$0,3\left( {x - 3} \right)$
B

$0,3\left( {3 - x} \right)$
C

$0,9\left( {x - 3} \right)$
D

$0,1\left( {x - 3} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = \sqrt {0,09.{{\left( {3 - x} \right)}^2}}$

$= \sqrt {0,09} .\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 0,3.\left| {3 - x} \right|$

Mà $x > 3 \Rightarrow 3 - x < 0$

hay $\left| {3 - x} \right| = x - 3$

Nên $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} = 0,3.\left( {x - 3} \right)$ .

Chú ý

Học sinh thường quên điều kiện khi phá dấu giá trị tuyệt đối dẫn đến sai kết quả.

Câu 11 :

Giá trị biểu thức $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2}$ khi $x = \sqrt {29}$ là

A

$29$
B

$5$
C

$10$
D

$25$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\sqrt { {x - 2} }.\sqrt{ {x + 2} } = \sqrt {{x^2} - 4}$ với $x \ge 2$ .

Thay $x = \sqrt {29}$ ( TMĐK $x \ge 2$ ) vào biểu thức ta được $\sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {29} } \right)}^2} - 4}$

$= \sqrt {25} = 5$ .

Câu 12 :

Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}}$ với $0 < a < b$ ta được

A

$\dfrac{{\sqrt a }}{2}$
B

$\dfrac{{\sqrt b }}{2}$
C

$\dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$
D

$a\sqrt b$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

-Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

$E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}}$ $= \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}.\dfrac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{2\left| {a - b} \right|}}$

Mà $0 < a < b$ nên $a - b < 0 \Rightarrow \left| {a - b} \right| = - \left( {a - b} \right)$ . Khi đó $E = \dfrac{{\left( {a - b} \right)\sqrt b }}{{ - 2\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{ - \sqrt b }}{2}$ .

Chú ý

Học sinh thường quên điều kiện khi phá dấu giá trị tuyệt đối và bỏ qua dấu giá trị tuyệt đối khi sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ .

Câu 13 :

Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}}$ với $ab \ne 0$ ta được

A

$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
B

$12$
C

$6$
D

$36$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$ .

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}}$ $= 4{a^4}{b^2}.\dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{a^8}{b^4}} }} = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{3}{{\sqrt {{a^8}} .\sqrt {{b^4}} }}$ $= \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{{a^4}.{b^2}}} = 12$ .

Câu 14 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được

A

$x$
B

$-x$
C

$\sqrt x$
D

$\sqrt {x + 2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ $= \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {x + 2} \right)} }}{{\sqrt {x + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {{x^2}} .\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x + } 2}} = \sqrt {{x^2}} = \left| x \right|$ mà $x > 0$ nên $\left| x \right| = x$

Từ đó $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }} = x$ .

Câu 15 :

Với $x > 5$ , cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$ .

Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$ .

A

$1$
B

$2$
C

$0$
D

Vô số.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

-Rút gọn biểu thức $A$ ta sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

-Giải phương trình dạng $\sqrt A = m\,\left( {m > 0} \right) \Leftrightarrow A = {m^2}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ $= \dfrac{{\sqrt {x\left( {x - 5} \right)} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \dfrac{{\sqrt x \sqrt {x - 5} }}{{\sqrt {x - 5} }} = \sqrt x$

Để $A = B$ $\Leftrightarrow \sqrt x = x \Leftrightarrow x - \sqrt x = 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 0\\\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\sqrt x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (loại vì $x > 5$ ).

Vậy không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chú ý

Học sinh thường quên so sánh điều kiện khi đã giải xong phương trình dẫn đến bị thừa nghiệm.

Câu 16 :

Với $x,y \ge 0;x \ne y$ , rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$ ta được

A

$\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
B

$\dfrac{1}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
C

$\dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt x - \sqrt y }}$
D

$\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

-Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$ .

-Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - \sqrt x .\sqrt y }}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt y } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + \sqrt y }}$

Câu 17 :

Giá trị của biểu thức $(\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150}$ là:

A

$12 - 5\sqrt 6$
B

$12 + 5\sqrt 6$
C

$12 + \sqrt 6$
D

$12 - \sqrt 6$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

Lời giải chi tiết :

Ta có $(\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150}$ $= \dfrac{{\sqrt {12} .\sqrt 3 + 2\sqrt {27} .\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {25.6}$ $= \dfrac{{\sqrt {12.3} + 2\sqrt {27.3} }}{2} - \sqrt {25} .\sqrt 6 = \dfrac{{\sqrt {36} + 2\sqrt {81} }}{2} - 5\sqrt 6 = \dfrac{{6 + 2.9}}{2} - 5\sqrt 6 = 12 - 5\sqrt 6$

Câu 18 :

Với $a \ge 0,b \ge 0,a \ne b$ , rút gọn biểu thức $\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}$ ta được:

A

$\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
B

$\dfrac{{\sqrt {ab} - 2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
C

$\dfrac{{2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$
D

$\dfrac{{\sqrt {ab} - 2a}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

-Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$ .

-Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ , ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}$ $= \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - \sqrt a .\sqrt b + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab} + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}}$ $= \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{a - \sqrt {ab} + b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{a - b - a + \sqrt {ab} - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt {ab} - 2b}}{{\sqrt a - \sqrt b }}$

Chú ý

Cần linh hoạt trong cách rút gọn từng phân số để tránh mất thời gian khi quy đồng mẫu số.

Câu 19 :

Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm ${x_0}$ của phương trình $\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5}$

A

${x_0} < 5$
B

${x_0} > 8$
C

${x_0} > 9$
D

$5 < {x_0} < 7$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Tìm điều kiện xác định

-Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ khi $A > 0$ để đưa phương trình về dạng đã biết.

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $7x + 5 > 0$ hay $x > - \dfrac{5}{7}$

Với điều kiện trên ta có:

$\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5}$

$9x - 7 = {\left( {\sqrt {7x + 5} } \right)^2}$

$9x - 7 = 7x + 5$

$2x = 12$

$x = 6\,\left( {TM} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là ${x_0} = 6$ , do đó $5 < {x_0} < 7$

Chú ý

Học sinh thường quên điều kiện khi giải dẫn đến sai nghiệm.

Câu 20 :

Nghiệm của phương trình $\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4$ là

A

$x = - 9$
B

$x = 5$
C

$x = 8$
D

$x = 9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

-Tìm điều kiện xác định

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab} = \sqrt a .\sqrt b$

và nhóm nhân tử chung để đưa phương trình về dạng đã biết.

-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}4x - 20 \ge 0\\x - 5 \ge 0\\9x - 45 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ge 0\\4\left( {x - 5} \right) \ge 0\\9\left( {x - 5} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 5$

Với điều kiện trên ta có $\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4.$ $\Leftrightarrow \sqrt {4\left( {x - 5} \right)} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9\left( {x - 5} \right)} = 4$

$\Leftrightarrow \sqrt 4 .\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt 9 \sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}.3.\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow 2\sqrt {x - 5} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} = 2$

$\Leftrightarrow x - 5 = {2^2} \Leftrightarrow x - 5 = 4 \Leftrightarrow x = 9\,\left( {TM} \right)$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 9$ .

Câu 21 :

Tính : $P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} }$

A
$P = 1$
B
$P = - 1$
C
$P = - \sqrt 3$
D
$P = \sqrt 3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng phép khai phương một tích nhân các căn bậc hai.

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Lời giải chi tiết :

$P = 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} - 2\sqrt 6 - \sqrt {9 - \sqrt {17} } .\sqrt {9 + \sqrt {17} }$ $= 2\sqrt 6 - 4\sqrt 2 + 1 + 4\sqrt 2 + 8 - 2\sqrt 6 - \sqrt {\left( {9 - \sqrt {17} } \right)\left( {9 + \sqrt {17} } \right)}$ $= 9 - \sqrt {{9^2} - {{\left( {\sqrt {17} } \right)}^2}}$ $= 9 - \sqrt {81 - 17}$ $= 9 - \sqrt {64}$ $= 9 - 8 = 1$

Câu 22 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}}$ với $\left( {a > 0} \right)$

A

$A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}$
B

$A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}$
C

$A = \dfrac{{{a^2} - a + 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}$
D

$A = \dfrac{{{a^2} - a - 1}}{{a\left( {a - 1} \right)}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp bình phương hai vế của biểu thức ${A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}A = \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} \\ \Rightarrow {A^2} = {\left( {\sqrt {1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}} } \right)^2}\\ = 1 + \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2} + {a^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^2}\left( {{a^2} + 2a + 1 + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{a^4} + 2{a^2}\left( {a + 1} \right) + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{{\left( {{a^2} + a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = {\left[ {\dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right]^2}.\end{array}$

Do $a > 0$ nên $A > 0$ và $A = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{a\left( {a + 1} \right)}}.$

Câu 23 :

Cho $Q = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$ . Tìm $x$ để $Q = 3$

A
$x = \pm 1$
B
$x = 1$
C
$x = - 1$
D
Kết quả khác

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $Q$ xác định.

- Giải phương trình $\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 3$ , bằng cách:

+ Nhân chéo với điều kiện $x > 0$

+ Phân tích đa thức thu được thành nhân tử.

+ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận giá trị cần tìm của $x.$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > 0.$

$\begin{array}{l}\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 3\\ \Rightarrow x + \sqrt x + 1 = 3\sqrt x \\ \Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 1\\ \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $x=1$ .

Câu 24 :

Tính giá trị biểu thức $A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }}$ $+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}$

A
$1 - \sqrt {2021}$
B
$\sqrt {2021} - 1$
C

$\dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}$
D

$\dfrac{{\sqrt {2019} - 1}}{2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Áp dụng: $\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{a - b}}$ với $a , b>0$

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }}$ $+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}$ $= \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}$ $+ \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}}$ $+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019} + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021} - \sqrt {2019} } \right)}}$ $= \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{5 - 3}}$ $+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}$ $= \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2}$ $+ ...... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}$ $= \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt 5 - \sqrt 3 + ....... + \sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}$ $= \dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}$

Câu 25 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}$ với $x > 0$

A
$5$
B
$9$
C
$4$
D
$0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Chia tử thức cho mẫu thức được $A = \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1$

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt x$ và $\dfrac{4}{{\sqrt x }}$

Lời giải chi tiết :

Với $x > 0$ ta có: $A = \dfrac{{x + \sqrt x + 4}}{{\sqrt x }}$ $= \dfrac{x}{{\sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \dfrac{4}{{\sqrt x }}$ $= \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\sqrt x$ và $\dfrac{4}{{\sqrt x }}$ ta được:

$\sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\dfrac{4}{{\sqrt x }}} = 2.2 = 4$ $\Rightarrow \sqrt x + \dfrac{4}{{\sqrt x }} + 1 \ge 5$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \dfrac{4}{{\sqrt x }} \Leftrightarrow x = 4\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy GTNN của $A$ là $5$ khi $x = 4$

Bài liên quan

Trắc nghiệm Bài 6,7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6,7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 9: Căn bậc ba Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Căn bậc ba Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Tổng hợp câu hay và khó chương 1 Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Tổng hợp câu hay và khó chương 1 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 1 Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 1 Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Trắc nghiệm Bài 3,4: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương Toán 9

Trắc nghiệm Bài 6,7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn Toán 9

Trắc nghiệm Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9

Trắc nghiệm Bài 9: Căn bậc ba Toán 9

Trắc nghiệm Tổng hợp câu hay và khó chương 1 Toán 9

Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 1 Toán 9