Trắc nghiệm Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng?
Câu 2 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=a,AC=b,AB=c. Chọn khẳng định sai?
Câu 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=10cm,ˆC=30∘. Tính AB;BC
Câu 4 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=12cm,ˆB=40∘. Tính AC;ˆC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Câu 5 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC=15cm,AB=12cm . Tính AC;ˆB .
Câu 6 :
Cho tam giác ABC có AB=16,AC=14 và ˆB=600. Tính BC
Câu 7 :
Cho tam giác ABC có ˆB=600,ˆC=500,AC=3,5cm. Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Câu 8 :
Cho tứ giác ABCD có ˆA=ˆD=900,ˆC=400,AB=4cm,AD=3cm. Tính diện tích tứ giác ABCD. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Cho tam giác DEF có DE=7cm;∠D=400;∠F=580. Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính: (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1) Câu 9
Đường cao EI
Câu 10
Cạnh EF
Cho tam giác ABC có BC=11cm,^ABC=40∘ và ^ACB=300. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. ![]() Câu 11
Độ dài AN gần nhất với giá trị nào dưới đây ?
Câu 12
Độ dài AC gần nhất với giá trị nào dưới đây ?
Câu 13
Diện tích tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây ?
Câu 14 :
Cho tam giác ABC cân tại A,∠B=650, đường cao CH=3,6. Hãy giải tam giác ABC.
Câu 15 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB=9;HC=16. Tính góc B và góc C.
Câu 16 :
Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của tam giác đó.
Câu 17 :
Cho tam giác ABC vuông cân tại A(AB=AC=a) . Phân giác của góc B cắt AC tại D. Tính DA;DC theo a.
Câu 18 :
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D;∠C=500. Biết AB=2;AD=1,2. Tính diện tích hình thang ABCD.
Câu 19 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3cm,AC=4cm. Tính độ dài đường cao AH, tính cos∠ACB.
Cho tam giác ABC vuông tại A; BC=a không đổi, ∠C=α(00<α<900) Câu 20
Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và α .
Câu 21
Tìm góc để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho tam giác MNP vuông tại N. Hệ thức nào sau đây là đúng?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Ta có \sin P = \dfrac{{MN}}{{MP}} \Rightarrow MN = MP.\sin P.
Câu 2 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a,AC = b,AB = c. Chọn khẳng định sai?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a,AC = b,AB = c. Ta có : +) Theo định lý Py-ta-go ta có {a^2} = {b^2} + {c^2} nên C đúng +) Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có b = a.\sin B = a.\cos C; c = a.\sin C = a.\cos B; b = c.\tan B = c.\cot C; c = b.\tan C = b.\cot B. Nên A,D đúng.
Câu 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 10\,cm,\widehat C = 30^\circ . Tính AB;BC
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
![]() Xét tam giác ABC vuông tại A có \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\tan C = 10.\tan 30^\circ = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}; \cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{AC}}{{\cos C}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3} Vậy AB = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3};BC = \dfrac{{20\sqrt 3 }}{3}.
Câu 4 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 12\,cm,\widehat B = 40^\circ . Tính AC;\widehat C . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Đáp án : C Phương pháp giải :
+Tính góc còn lại theo định lý về tổng ba góc trong tam giác +) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm các cạnh . Lời giải chi tiết :
![]() Xét tam giác ABC vuông tại A có +) \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} nên AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7,71 +) \widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ nên \widehat C = 180^\circ - 40^\circ - 90^\circ = 50^\circ Vậy AC \approx 7,71;\widehat C = 50^\circ .
Câu 5 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15\,cm,AB = 12\,cm . Tính AC;\widehat B .
Đáp án : B Phương pháp giải :
+Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go +) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc. Lời giải chi tiết :
![]() Xét tam giác ABC vuông tại A có +) B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9 (cm) +) \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{9}{{15}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \widehat B \approx 36^\circ 52' Vậy AC = 9 (cm);\widehat B \approx 36^\circ 52'.
Câu 6 :
Cho tam giác ABC có AB = 16,AC = 14 và \widehat B = {60^0}. Tính BC
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Kẻ đường cao AH +) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh. Lời giải chi tiết :
![]() Kẻ đường cao AH. Xét tam giác vuông ABH, ta có: BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 . Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông AHC ta có: H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4. Suy ra HC = 2. Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.
Câu 7 :
Cho tam giác ABC có \widehat B = {60^0},\widehat C = {50^0},AC = 3,5cm. Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Kẻ đường cao AD +) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh. +) Sử dụng công thức tính diện tích tam giác. Lời giải chi tiết :
![]() Kẻ đường cao AD. Xét tam giác vuông ACD, có AD = AC.\sin C = 3,5.\sin 50^\circ \approx 2,68\,cm; CD = AC.\cos C = 3,5.\cos 50^\circ \approx 2,25\,\,cm Xét tam giác vuông ABD, có BD = AD.\cot B \approx 2,68.\cot 60^\circ \approx 1,55\,\,cm Suy ra BC = BD + CD = 3,8 Do đó {S_{ABC}} = \dfrac{{AD.BC}}{2} \approx 5,09c{m^2}.
Câu 8 :
Cho tứ giác ABCD có \widehat A = \widehat D = {90^0},\widehat C = {40^0},AB = 4cm,AD = 3cm. Tính diện tích tứ giác ABCD. (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Đáp án : A Phương pháp giải :
+) Kẻ đường cao BE +) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp để tính EC. +) Sử dụng công thức tính diện tích hình thang Lời giải chi tiết :
Vì \widehat A = \widehat D = {90^0} \Rightarrow AD{\rm{//}}BC hay ABCD là hình thang vuông tại A,D Kẻ BE \bot DC tại E. Tứ giác ABED có ba góc vuông \widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ nên ABED là hình chữ nhật Suy ra DE = AB = 4\,\,cm;BE = AD = 3\,cm Xét tam giác BEC vuông tại E có EC = BE.\cot 40^\circ=3.\cot40^0 \Rightarrow DC = DE + EC =4+3.\cot40^0 Do đó {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}=\dfrac{(4+4+3.\cot40^0).3}{2} \approx 17,36\,\,c{m^2}. Cho tam giác DEF có DE = 7cm;\angle D = {40^0};\angle F = {58^0}. Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính: (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1) Câu 9
Đường cao EI
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Xét \Delta DEI vuông tại I ta có: EI = ED.\sin D = 7.\sin {40^0} \approx 4,5\,\,cm. Câu 10
Cạnh EF
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông. Lời giải chi tiết :
Xét \Delta EIF vuông tại I ta có: EI = EF.\sin F \Leftrightarrow EF = \dfrac{{EI}}{{\sin F}} \approx \dfrac{{4,5}}{{\sin {{58}^0}}} \approx 5,3\,cm. Cho tam giác ABC có BC = 11cm,\widehat {ABC} = 40^\circ và \widehat {ACB} = {30^0}. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ A xuống cạnh BC. ![]() Câu 11
Độ dài AN gần nhất với giá trị nào dưới đây ?
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
Đặt BN = x\,\left( {0 < x < 11} \right) \Rightarrow NC = 11 - x Xét tam giác ABN vuông tại N có AN = BN.\tan B = x.\tan 40^\circ Xét tam giác ACN vuông tại N có AN = CN.\tan C = \left( {11 - x} \right).\tan 30^\circ Nên x\tan 40^\circ = \left( {11 - x} \right)\tan 30^\circ \Rightarrow x \approx 4,48 (thoả mãn) Khi đó AN = BN.\tan B = 4,48.\tan 40^\circ \approx 3,76(cm). Câu 12
Độ dài AC gần nhất với giá trị nào dưới đây ?
Đáp án : A Lời giải chi tiết :
Theo câu trước ta có AN \approx 3,76; Xét tam giác ACN vuông tại N có \sin C = \dfrac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{AN}}{{\sin C}} = 7,52 Câu 13
Diện tích tam giác ABC gần với giá trị nào dưới đây ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
+) Sử dụng công thức diện tích tam giác S = \dfrac{{ah}}{2} với h là chiều cao ứng với cạnh đáy a. Lời giải chi tiết :
Theo kết quả các câu trước ta có AN \approx 3,76 nên {S_{ABC}} = \dfrac{{AN.BC}}{2} = 20,68\,c{m^2}.
Câu 14 :
Cho tam giác ABC cân tại A,\,\,\angle B = {65^0}, đường cao CH = 3,6. Hãy giải tam giác ABC.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Sử dụng tính chất tam giác cân. Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác. Lời giải chi tiết :
Vì \Delta ABC là tam giác cân tại A \Rightarrow \angle C = \angle B = {65^0} Ta có \angle A + \angle B + \angle C = {180^0}(định lý tổng ba góc trong một tam giác) \Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C = {180^0} - {2.65^0} = {50^0} Xét \Delta ACH vuông tại H ta có: \sin A = \dfrac{{CH}}{{AC}} \Leftrightarrow \sin {50^0} = \dfrac{{3,6}}{{AC}} \Rightarrow AC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 4,7 Vì \Delta ABC là tam giác cân tại A \Rightarrow AC = AB \approx 4,7 Xét \Delta BCH vuông tại H ta có: \sin B = \dfrac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow \sin {65^0} = \dfrac{{3,6}}{{BC}} \Rightarrow BC = \dfrac{{3,6}}{{\sin {{65}^0}}} \approx 3,97
Câu 15 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết HB = 9;HC = 16. Tính góc B và góc C.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc Dựa vào tam giác đồng dạng suy ra A{B^2} = BH.BC; A{C^2} = CH.BC Lời giải chi tiết :
Ta có: BC = BH + CH = 9 + 16 = 25 \Delta ABC \backsim \Delta HBA suy ra A{B^2} = BH.BC= 9.25 \Rightarrow AB = 15 \Delta ABC \backsim \Delta HAC suy ra A{C^2} = CH.BC = 16.25 \Rightarrow AC = 20 Xét \Delta ABC vuông tại A ta có \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} = \dfrac{4}{5} \Rightarrow \widehat B \approx {53^0}8' \sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{{25}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \widehat C \approx {36^0}52'
Câu 16 :
Một tam giác cân có đường cao ứng với đáy đúng bằng độ dài đáy. Tính các góc của tam giác đó.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Tính chất tam giác cân. Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác. Lời giải chi tiết :
Giả sử BC = AH = a. Vì \Delta ABC là tam giác cân nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến \Rightarrow H là trung điểm BC \Rightarrow HB = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2} Xét \Delta ABH vuông tại H ta có: tan\angle B = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{a}{2}}} = 2 \Rightarrow \angle B \approx {63^0}26' Vì \Delta ABC là tam giác cân \Rightarrow \angle C = \angle B \approx {63^0}26' Ta có \angle A + \angle B + \angle C = {180^0} (định lý tổng ba góc trong một tam giác) \Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C \approx {180^0} - {2.63^0}26' \approx {53^0}8'
Câu 17 :
Cho tam giác ABC vuông cân tại A\left( {AB = AC = a} \right) . Phân giác của góc B cắt AC tại D. Tính DA;DC theo a.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và tia phân giác. Lời giải chi tiết :
Vì tam giác ABC vuông cân tại \Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0} Vì BD là tia phân giác B \Rightarrow \angle ABD = \angle DBC = \dfrac{1}{2}\angle B = \dfrac{{{{45}^0}}}{2} = 22,{5^0} Xét \Delta ABD vuông tại A ta có AD = AB.\tan \angle ABD = a.\tan 22,{5^0} Ta có: AD + DC = AC \Rightarrow DC = AC - AD = a - a\tan 22,{5^0}
Câu 18 :
Cho hình thang ABCD vuông tại A và D;\angle C = {50^0}. Biết AB = 2;AD = 1,2. Tính diện tích hình thang ABCD.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Sử dụng tính chất hình chữ nhật. Công thức tính diện tích hình thang vuông: {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}. Lời giải chi tiết :
Kẻ BE \bot DC,\,\,\,E \in CD. Xét tứ giác ABED có \angle A = \angle D = \angle E = {90^0} \Rightarrow ABED là hình chữ nhật \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = ED = 2\\AD = BE = 1,2\end{array} \right. Xét \Delta BCE vuông tại E ta có: EC = BE.cot\angle C = 1,2.cot{50^0} \Rightarrow DC = DE + EC = 2 + 1,2.\cot {50^0} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2} = \dfrac{{\left( {2 + 2 + 1,2.\cot {{50}^0}} \right).1,2}}{2} \approx 3\,\,\,\,\left( {đvdt} \right).
Câu 19 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3cm,\,\,AC = 4cm. Tính độ dài đường cao AH, tính \cos \angle ACB.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tỉ số lượng giác để làm bài toán. Lời giải chi tiết :
Áp dụng định lý Pitago trong \Delta ABC vuông tại A ta có: B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow BC = 5\,\,cm. Áp dụng hệ thức lượng trong \Delta ABC vuông tại A có đường cao AH ta có: AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm. Ta có: \cos \angle ACB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}. Cho tam giác ABC vuông tại A; BC = a không đổi, \angle C = \alpha \,\,\,\left( {{0^0} < \alpha < {{90}^0}} \right) Câu 20
Lập công thức để tính diện tích tam giác ABC theo a và \alpha .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. Sử dụng công thức tính diện tích tam giác {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC. Lời giải chi tiết :
Xét \Delta ABC vuông tại A ta có: \left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin \alpha = a.\sin \alpha \\AC = BC.cos\alpha = a.cos\alpha \end{array} \right. {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}a.\sin \alpha .a.cos\alpha = \dfrac{1}{2}{a^2}.\sin \alpha .cos\alpha Câu 21
Tìm góc để diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất ấy.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Pytago. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si Lời giải chi tiết :
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right)}}{2} = \dfrac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) Áp dụng định lý Pitago cho \Delta ABC vuông tại A ta có: A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC \le \dfrac{1}{4}.\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) = \dfrac{1}{4}B{C^2} = \dfrac{1}{4}{a^2} Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow AC = AB \Leftrightarrow \Delta ABC vuông cân \Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0} hay \alpha = {45^0}. Vậy {S_{ABCmax}} = \dfrac{1}{4}{a^2} khi \alpha = {45^0}.
|