Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 4 Toán 9Đề bài
Câu 1 :
Cho phương trình: x2+2(m−3)x+m2+m+1=0 (1) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Câu 2 :
Cho phương trình bậc hai: x2+ax+b=0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2. Điều kiện để x1;x2>0 là:
Câu 3 :
Giả sử: x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−4x−9=0. Khi đó x21+x22 bằng:
Câu 4 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là √5−2 và √5+2.
Câu 5 :
Tập nghiệm của phương trình x4−5x2+6=0 là:
Câu 6 :
Tập nghiệm của phương trình x+4√x−12=0 là:
Câu 7 :
Cho phương trình: x4+mx2+2m+3=0 (1). Với giá trị nào dưới đây của m thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ?
Câu 8 :
Cho phương trình bậc hai: x2−2px+5=0 có 1 nghiệm x1=2 Tìm giá trị của p và nghiệm x2 còn lại:
Câu 9 :
Cho phương trình bậc hai: x2−qx+50=0. Tìm q>0 và 2 nghiệm x1;x2 của phương trình biết rằng x1=2x2.
Câu 10 :
Cho phương trình: x2−(m+2)x+(2m−1)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2. Hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m là:
Câu 11 :
Cho phương trình: x2−3(m−5)x+m2−9=0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Câu 12 :
Cho phương trình: x2+2(2m+1)x+4m2=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
Câu 13 :
Cho phương trình: x2−2(m−1)x+m2−3m=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x21+x22=8.
Câu 14 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d:y=2(m−1)x−m−1 cắt parabol (P): y=x2 tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Câu 15 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y=2(m−3)x+4m−8 cắt đồ thị hàm số (P):y=x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Câu 16 :
Cho phương trình: x−2√x+m−3=0 (1) Điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
Câu 17 :
Cho phương trình: x2+x−18x2+x=3 (1) Phương trình trên có số nghiệm là:
Câu 18 :
Cho phương trình: 2x3x2−x+2−7x3x2+5x+2=1 (1) Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1). Giá trị của S là:
Câu 19 :
Phương trình x4−3x3−2x2+6x+4=0 có bao nhiêu nghiệm?
Câu 20 :
Tập nghiệm của phương trình (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=35 là:
Câu 21 :
Tập nghiệm của phương trình: 12x−1−8x+1=1 là:
Câu 22 :
Cho phương trình: x−3√x+m−4=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Câu 23 :
Định m để đường thẳng (d): y=(m+1)x−2m cắt parabol (P): y=x2 tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 sao cho: x1,x2 là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Câu 24 :
Cho phương trình: x2−2mx+2m−1=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 2(x21+x22)−5x1x2=−1.
Câu 25 :
Cho phương trình: x2+2(m−1)x−(m+1)=0. Tìm m để pt có 2 nghiệm nhỏ hơn 2.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Cho phương trình: x2+2(m−3)x+m2+m+1=0 (1) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 ẩn x và tham số m. Để xem phương trình có nghiệm hay không, ta xét đại lượng Δ của phương trình. Thay các giá trị của m vào để tìm đáp án đúng. Lời giải chi tiết :
Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn x và tham số m. Xét: Δ′=(m−3)2−(m2+m+1)=m2−6m+9−m2−m−1=−7m+8. ∙ Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔Δ′<0⇔−7m+8<0⇔m>87. ∙ Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ⇔Δ′=0⇔−7m+8=0⇔m=87. ∙ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔Δ′>0⇔−7m+8>0⇔m<87. Như vậy + Với m=3>87 thì phương trình vô nghiệm nên A sai. + Với m=−1<87 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt nên B sai. + Với m=2>87 thì phương trình vô nghiệm nên C đúng, D sai. Vậy đáp án đúng là đáp án C. Chú ý
Các em có thể thay m ở các đáp án trực tiếp vào phương trình rồi giải các phương trình tìm được để chọn đáp án.
Câu 2 :
Cho phương trình bậc hai: x2+ax+b=0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2. Điều kiện để x1;x2>0 là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Điều kiện để phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt là Δ>0. Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔{Δ>0S>0P>0 Lời giải chi tiết :
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 nên Δ>0⇔a2>4b. Để phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt thì {Δ>0S>0P>0⇔{a2>4b−a>0b>0⇔{a2>4ba<0b>0
Câu 3 :
Giả sử: x1,x2 là hai nghiệm của phương trình x2−4x−9=0. Khi đó x21+x22 bằng:
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Biến đổi: x12+x22=x12+2x1x2+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2. - Áp dụng hệ thức Vi-et tính được: x1+x2,x1.x2, thay vào biểu thức bên trên ta tìm được x21+x22. Lời giải chi tiết :
Phương trình đã cho có: Δ′=(−2)2−1.(−9)=13>0 nên có hai nghiệm phân biệt. Ta có: x12+x22=x12+2x1x2+x22−2x1x2=(x1+x2)2−2x1x2 (1) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: {x1+x2=−ba=−(−4)1=4x1.x2=ca=−91=−9 Thay vào (1) ta được: x12+x22=42−2.(−9)=16+18=34.
Câu 4 :
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là √5−2 và √5+2.
Đáp án : A Phương pháp giải :
{u+v=Su.v=P⇒ u,v là nghiệm của phương trình: x2−Sx+P=0. (ĐK: S2≥4P ) Lời giải chi tiết :
Ta có: S=√5−2+√5+2=2√5.P=(√5−2)(√5+2)=5−4=1. Nhận thấy S2>4P(do(2√5)2=20>4) Nên phương trình bậc hai có 2 nghiệm √5−2 và √5+2 là: x2−2√5x+1=0.
Câu 5 :
Tập nghiệm của phương trình x4−5x2+6=0 là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phương trình đã cho là phương trình trùng phương, ta đặt: x2=t(t≥0) khi đó đưa về được phương trình bậc hai: t2−5t+6=0. Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó quay lại tìm được x. Lời giải chi tiết :
x4−5x2+6=0 (1) Đặt: x2=t(t≥0) (1)⇔t2−5t+6=0 Có: Δ=52−4.6=1>0⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: [t1=5+12=3(tm)t2=5−12=2(tm) . +) Với t=3⇒x2=3⇔x=±√3. +) Với t=2⇒x2=2⇔x=±√2. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S={±√2;±√3}.
Câu 6 :
Tập nghiệm của phương trình x+4√x−12=0 là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Đặt: √x=t(t≥0), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: t2+4t−12=0. Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó quay lại tìm được x. Lời giải chi tiết :
x+4√x−12=0 (1) ĐKXĐ: x≥0. Đặt: √x=t(t≥0) (1)⇔t2+4t−12=0. Có: Δ′=22+12=16>0⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: [t1=−2+√16=2(tm)t2=−2−√16=−6(ktm). Với t=2⇒√x=2⇔x=4(tm). Vậy phương trình có nghiệm x=4.
Câu 7 :
Cho phương trình: x4+mx2+2m+3=0 (1). Với giá trị nào dưới đây của m thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Đặt x2=t (t≥0) đưa phương trình (1) thành phương trình bậc 2 với ẩn t và tham số m. Phương trình mới thu được: t2+mt+2m+3=0 (2) Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt. Biện luận phương trình (2) theo tham số m để có 2 nghiệm dương phân biệt. Lời giải chi tiết :
Đặt: x2=t(t≥0) ta được: t2+mt+2m+3=0 (2). Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt ⇔{Δ>0S>0P>0 {m2−4(2m+3)>0−m>02m+3>0⇔{m2−8m−12>0m<0m>−32⇔{[m>4+2√7m<4−2√7−32<m<0⇔−32<m<4−2√7 Với các giá trị thuộc −32<m<4−2√7 thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Nhận thấy trong các đáp án thì thì chỉ có m=−75 thỏa mãn −32<m<4−2√7 để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. Chú ý
Các em có thể thay từng giá trị của m ở đáp án vào phương trình để tìm nghiệm và chọn đáp án.
Câu 8 :
Cho phương trình bậc hai: x2−2px+5=0 có 1 nghiệm x1=2 Tìm giá trị của p và nghiệm x2 còn lại:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Thay nghiệm x1=2 vào phương trình đã cho để tìm p. Thay giá trị p tìm được vào phương trình, phân tích thành phương trình tích với nhân tử là (x−2) để tìm nghiệm còn lại. Lời giải chi tiết :
Thay x=2 vào phương trình đã cho ta được: 4−4p+5=0⇔4p=9⇔p=94. Thay p=94 vào phương trình đã cho ta được: x2−92x+5=0⇔2x2−9x+10=0⇔(x−2)(2x−5)=0⇔[x=2x=52 Vậy nghiệm còn lại là x2=52.
Câu 9 :
Cho phương trình bậc hai: x2−qx+50=0. Tìm q>0 và 2 nghiệm x1;x2 của phương trình biết rằng x1=2x2.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Dùng dữ kiện x1=2x2 kết hợp với hệ thức Vi-et, ta sẽ tìm được các giá trị: q,x1,x2. Lời giải chi tiết :
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm thì: Δ≥0⇔q2−200≥0⇔[q≥10√2q≤−10√2 Khi đó phương trình có hai nghiệm: x1,x2 thỏa mãn hệ thức Vi-et {x1+x2=qx1.x2=50 Với x1=2x2 thì {2x2+x2=q2x2.x2=50⇔{3x2=qx22=25⇔{x2=5q=15 (do q>0 nên x2=5>0) Khi đó: x1=2x2=2.5=10. Vậy q=15;x1=10,x2=5
Câu 10 :
Cho phương trình: x2−(m+2)x+(2m−1)=0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2. Hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Viet để tính tổng 2 nghiệm và tích 2 nghiệm. Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế để triệt tiêu m từ 2 phương trình, rút về 1 phương trình là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m. Lời giải chi tiết :
Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: ⇔Δ>0⇔(m+2)2−4(2m−1)>0 ⇔m2+4m+4−8m+4>0⇔m2−4m+8>0⇔(m−2)2+4>0(∀m) Vậy với mọi m phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Viet, ta có: {x1+x2=m+2x1x2=2m−1⇔{2(x1+x2)=2m+4x1x2=2m−1⇒2(x1+x2)−x1x2=5 Vậy 2(x1+x2)−x1x2=5 là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của m.
Câu 11 :
Cho phương trình: x2−3(m−5)x+m2−9=0. Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì ta giải: a.c<0 tìm giá trị của m. Lời giải chi tiết :
Phương trình: x2−3(m−5)x+m2−9=0 có a=1;b=−3(m−5);c=m2−9 Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: ⇔a.c<0⇔1.(m2−9)<0⇔(m−3)(m+3)<0 ⇔[{m−3<0m+3>0{m−3>0m+3<0⇔[{m<3m>−3{m>3m<−3(l)⇔−3<m<3
Câu 12 :
Cho phương trình: x2+2(2m+1)x+4m2=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm thì ta giải: {Δ′>0S<0P>0 tìm giá trị của m. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: x2+2(2m+1)x+4m2=0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm: ⇔{Δ′>0S<0P>0⇔{(2m+1)2−4m2>0−2(2m+1)<0m2>0⇔{4m+1>02m+1>0m2>0⇔{4m>−12m>−1m≠0⇔{m>−14m>−12m≠0⇔{m>−14m≠0.
Câu 13 :
Cho phương trình: x2−2(m−1)x+m2−3m=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn x21+x22=8.
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2(Δ′>0). - Ta biến đổi biểu thức: x12+x22 về biểu thức có chứa: x1+x2 và x1x2 rồi từ đó ta tìm được giá trị của m. - Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: x2−2(m−1)x+m2−3m=0 ta có: Δ′=(m−1)2−1.(m2−3m)=m2−2m+1−m2+3m=m+1. Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì Δ′>0⇔m+1>0⇔m>−1 . Ta có: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=8 (*) Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: {x1+x2=2(m−1)x1x2=m2−3m thay vào (*) ta được: [2(m−1)]2−2.(m2−3m)=8⇔4.(m2−2m+1)−2m2+6m−8=0⇔4m2−8m+4−2m2+6m−8=0⇔2m2−2m−4=0⇔m2−m−2=0⇔(m+1)(m−2)=0⇔[m=−1(ktm)m=2(tm) Vậy với m=2 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Câu 14 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d:y=2(m−1)x−m−1 cắt parabol (P): y=x2 tại hai điểm có hoành độ trái dấu.
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm. + Phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm trái dấu ⇔a.c<0. Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: x2−2(m−1)x+m+1=0(∗) Ta có: a=1;b=−2(m−1);c=m+1 Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu ⇔(∗) có 2 nghiệm trái dấu ⇔ac<0 ⇔1.(m+1)<0⇔m<−1
Câu 15 :
Tìm các giá trị của m để đường thẳng d: y=2(m−3)x+4m−8 cắt đồ thị hàm số (P):y=x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm. + Phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0(a≠0) có hai nghiệm âm phân biệt ⇔{Δ>0S=x1+x2<0P=x1.x2>0 Lời giải chi tiết :
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (P) là: x2−2(m−3)x+8−4m=0(∗) Ta có: a=1;b=−2(m−3);c=8−4m Đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm ⇔Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng âm⇔{Δ′>0P>0S<0⇔{Δ′=b′2−ac>0P=x1.x2>0S=x1+x2<0⇔{[−(m−3)]2−(8−4m)>08−4m>02(m−3)<0 ⇔{m2−6m+9−8+4m>0−4m>−8m<3⇔{(m−1)2>0m<2m<3⇔{m≠1m<2m<3⇔{m≠1m<2
Câu 16 :
Cho phương trình: x−2√x+m−3=0 (1) Điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt: √x=t(t≥0). Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn t. Biện luận để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình với ẩn t phải có 2 nghiệm phân biệt không âm. Áp dụng định lí Vi-et để giải ra điều kiện của m. Lời giải chi tiết :
Đặt: √x=t(t≥0) ta được: t2−2t+m−3=0 (2) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: t≥0. Phương trình (2 ) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: t≥0⇔{Δ′>0S>0P≥0 ⇔{(−1)2−(m−3)>02>0m−3≥0⇔{m<4m≥3⇔3≤m<4 Chú ý
Nhiều em quên mất trường hợp m=3 cũng thỏa mãn điều kiện đề bài dẫn đến sai đáp án
Câu 17 :
Cho phương trình: x2+x−18x2+x=3 (1) Phương trình trên có số nghiệm là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt: t=x2+x(t≠0). Đưa phương trình (1) thành phương trình bậc hai với ẩn t để giải. Thay các giá trị t tìm được vào để giải tìm x. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: x2+x≠0⇔x(x+1)≠0⇔{x≠0x≠−1 Đặt: t=x2+x(t≠0) ta được: t−18t=3⇔t2−3t−18=0 ⇔(t−6)(t+3)=0⇔[t=−3t=6 (thỏa mãn t≠0). + Nếu t=−3⇒x2+x=−3⇔x2+x+3=0⇔(x+12)2+114=0 (Vô nghiệm). + Nếu t=6⇒x2+x=6⇔x2+x−6=0⇔(x−2)(x+3)=0⇔[x=2x=−3 (thỏa mãn).
Câu 18 :
Cho phương trình: 2x3x2−x+2−7x3x2+5x+2=1 (1) Gọi S là tổng tất cả các nghiệm của phương trình (1). Giá trị của S là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét x=0 không phải nghiệm của phương trình, ta chia cả tử và mẫu của 2 phân số vế trái cho x để xuất hiện ẩn phụ. Đặt: t=3x+2x, đưa phương trình về phương trình bậc hai với ẩn t. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: {3x2−x+2≠03x2+5x+2≠0⇔{x≠−1x≠−23 Xét x=0 không phải nghiệm của phương trình. Xét x≠0 ta có: 2x3x2−x+2−7x3x2+5x+2=1⇒23x−1+2x−73x+5+2x=1. Đặt t=3x+2x ta được: 2t−1−7t+5=1⇒2(t+5)−7(t−1)=(t−1)(t+5). ⇔2t+10−7t+7=t2+5t−t−5⇔t2+9t−22=0⇔(t−2)(t+11)=0⇔[t=2t=−11 ∘ Nếu t=2⇒3x+2x=2⇒3x2−2x+2=0⇔2x2+(x−1)2+1=0 (Vô nghiệm). ∘ Nếu t=−11⇒3x+2x=−11⇒3x2+11x+2=0⇔x=−11±√976 (Thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=−11±√976. Suy ra tổng 2 nghiệm S=−113.
Câu 19 :
Phương trình x4−3x3−2x2+6x+4=0 có bao nhiêu nghiệm?
Đáp án : C Phương pháp giải :
+) Xét: x=0 không là nghiệm của phương trình. +) Với: x≠0 ta chia 2 vế của phương trình cho x2 để đưa về phương trình bậc thấp hơn sau đó giải phương trình đó để tìm x. Lời giải chi tiết :
Phương trình: x4−3x3−2x2+6x+4=0(1). Ta thấy: x=0 không là nghiệm của phương trình đã cho. Với: x≠0, ta chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được: (1)⇔x2−3x−2+6x+4x2=0⇔(x2+4x2)−3(x−2x)−2=0⇔(x2−2.x.2x+4x2+4)−3(x−2x)−2=0⇔(x−2x)2−3(x−2x)+2=0(∗) Đặt: x−2x=t ⇒(∗)⇔t2−3t+2=0. Có: a+b+c=1−3+2=0⇒ phương trình có hai nghiệm phân biết: [t1=1t2=2. +) Với t=1⇒x−2x=1⇔x2−x−2=0⇔(x+1)(x−2)=0⇔[x=−1(tm)x=2(tm). +) Với t=2⇒x−2x=2⇔x2−2x−2=0. Có: Δ′=1+2=3>0⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: [x=1+√3(tm)x=1−√3(tm). Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 20 :
Tập nghiệm của phương trình (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=35 là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Ghép (x+2)(x+5) lại thành một cặp, (x+3)(x+4) lại thành một cặp, sau đó đặt ẩn phụ t đưa về được phương trình bậc hai ẩn t. Giải phương trình bậc hai ẩn t thì quay lại tìm được x. Lời giải chi tiết :
(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=35⇔(x+2)(x+5)(x+3)(x+4)=35⇔(x2+7x+10)(x2+7x+12)=35(∗) Đặt: x2+7x+10=t⇒x2+7x+12=t+2. (∗)⇔t(t+2)=35⇔t2+2t−35=0. Có: Δ′=1+35=36>0⇒ phương trình có 2 nghiệm phân biệt: [t1=−1+√36=5t2=−1−√36=−7. +) Với: t = 5 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = 5 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 5 = 0 Có: \Delta = {7^2} - 4.5 = 29 > 0 \Rightarrow phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}\end{array} \right. +) Với: t = - 7 \Rightarrow {x^2} + 7x + 10 = - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 17 = 0. Có: \Delta = {7^2} - 4.17 = - 19 < 0 \Rightarrow phương trình vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = \left\{ {\dfrac{{ - 7 + \sqrt {29} }}{2};\dfrac{{ - 7 - \sqrt {29} }}{2}} \right\}.
Câu 21 :
Tập nghiệm của phương trình: \dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1 là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm điều kiện xác cho phân thức, sau đó quy đồng đưa về dạng hai phân thức bằng nhau. Lời giải chi tiết :
ĐKXĐ: \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right. \begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{12(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} - \dfrac{{8(x - 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \dfrac{{(x - 1)(x + 1)}}{{(x - 1)(x + 1)}}\\ \Leftrightarrow 12(x + 1) - 8(x - 1) = (x - 1)(x + 1)\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\end{array}. Có: \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} + 21 = 25 > 0 \Rightarrow phương trình có hai nghiệm phân biệt: {x_1} = 2 + \sqrt {25} = 7\,\,\,\left( {tm} \right);\,\,\,\,{x_2} = 2 - \sqrt {25} = - 3\,\,\left( {tm} \right). Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { - 3;7\,}.
Câu 22 :
Cho phương trình: x - 3\sqrt x + m - 4 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Đặt: \sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right), khi đó đưa về được phương trình bậc hai: {t^2} - 3t + m - 4 = 0. Giải và biện luận nghiệm theo phương trình bậc hai ẩn t. Lời giải chi tiết :
x - 3\sqrt x + m - 4 = 0 (1). Đk: x \ge 0. Đặt: \sqrt x = t\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t + m - 4 = 0\,\,\,\left( 2 \right) Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm phân biệt không âm. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 3} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right) > 0\\3 > 0\,\,\,\forall m\\m - 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m + 16 > 0\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{25}}{4}\\m \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 4 \le m < \dfrac{{25}}{4}.
Câu 23 :
Định m để đường thẳng (d): y = \left( {m + 1} \right)x - 2m cắt parabol (P): y = {x^2} tại 2 điểm phân biệt có hoành độ {x_1},{x_2} sao cho: {x_1},{x_2} là độ dài hai góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Xét phương trình hoành độ giao điểm. + Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. + Sử dụng định lý Pytago và hệ thức Vi-et để tính toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình hoành độ giao điểm: {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m = 0. Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt {x_1},{x_2} thỏa mãn: x_1^2 + x_2^2 = 25. Do đó, m phải thỏa mãn các điều kiện sau: \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\x_1^2 + x_2^2 = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 8m > 0\\m + 1 > 0\\2m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt 8 \\m > 3 + \sqrt 8 \end{array} \right.\\m > - 1\\m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 6
Câu 24 :
Cho phương trình: {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 5{x_1}{x_2} = - 1.
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: {x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0). - Ta biến đổi biểu thức 2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} về biểu thức có chứa {x_1} + {x_2} và {x_1}{x_2} rồi từ đó ta tìm được giá trị của m. - Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: {x^2} - 2mx + 2m - 1 = 0 ta có: \Delta ' = {m^2} - 1.\left( {2m - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 = {(m - 1)^2} Để phương trình có hai nhiệm phân biệt thì \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne 1 . Ta có: \begin{array}{l}2({x_1}^2 + {x_2}^2) - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\rm{[}}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}{\rm{]}} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 5{x_1}{x_2} = - 1\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 9{x_1}{x_2} = - 1\,\,\,(*)\end{array} Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = 2m - 1\end{array} \right. thay vào (*) ta được: \begin{array}{l}2{(2m)^2} - 9\left( {2m - 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 2.4{m^2} - 18m + 9 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 8{m^2} - 18m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow (m - 1)(4m - 5) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\,(ktm)\\m = \dfrac{5}{4}\,(tm)\end{array} \right.\end{array} Vậy với m = \dfrac{5}{4} thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Câu 25 :
Cho phương trình: {x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0. Tìm m để pt có 2 nghiệm nhỏ hơn 2.
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm: {x_1},{x_2}\,(\Delta ' > 0). - Phương trình có hai nghiệm {x_1},{x_2} đều nhỏ hơn 2 \Leftrightarrow {x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.. - Ta biến đổi biểu thức trên về biểu thức có chứa {x_1} + {x_2} và {x_1}{x_2} rồi từ đó ta tìm được giá trị của m. - Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Lời giải chi tiết :
Xét phương trình: {x^2} + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0 ta có: \begin{array}{l}\Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 1 \\= {m^2} - 2m + 1 + m + 1 = {m^2} - m + 2\\\Delta '\, = {m^2} - 2m.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} \\= {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4}\,\\ \Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\end{array}. Vậy phương trình luôn có hai nhiệm phân biệt: x{}_1,\,{x_2} với mọi giá trị của m. Từ giả thiết ta có: \begin{array}{l}{x_1} - 2 < 0;\,{x_2} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({x_1} - 2)({x_2} - 2) > 0\\\dfrac{S}{2} < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2{x_1} - 2{x_2} + 4 > 0\\ - m + 1 < 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} - 2({x_1} + {x_2}) + 4 > 0\,\,\,(*)\\m > - 1\end{array} \right.\end{array} Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = - (m + 1)\end{array} \right. thay vào (*) ta được: \begin{array}{l} - (m + 1) - 2.( - 2)(m - 1) + 4 > 0\\ \Leftrightarrow - m - 1 + 4m - 4 + 4 > 0\\ \Leftrightarrow 3m - 1 > 0\,\,\\ \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{3}\end{array} Vậy \left\{ \begin{array}{l} m > - 1\\ m > \dfrac{1}{3} \end{array} \right. \Rightarrow m > \dfrac{1}{3}
|