Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương đường tròn Toán 9

Đề bài

Câu 1 :

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và dây AC. Biết rằng khoảng cách từ O lần lượt đến ACBC8cm6cm. Lấy D đối xứng với A qua C. Chọn câu sai ?

  • A

    AC=12cm;BC=16cm

  • B

    Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R.

  • C

    ΔABD  cân tại B.

  • D

    Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 32R.

Cho nửa đường tròn tâm  O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến AxBy (AxBy và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt AxBy theo thứ tự tại CD.

Câu 2

Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.

  • A.

    CD=3OM

  • B.

    OM//AB.

  • C.

    OMAB.

  • D.

    AC=2OM

Câu 3

Tìm vị trí điểm CD để hình thang ABDC có chu vi bằng 14,  biết AB=4cm.

  • A.

    AC=4cm;BD=1cm hoặc AC=1cm;BD=4cm

  • B.

    AC=4cm;BD=1cm

  • C.

    AC=3cm;BD=2cm hoặc AC=2cm;BD=3cm

  • D.

    AC=3cm;BD=1cm hoặc AC=1cm;BD=3cm

Câu 4 :

Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax,By (Ax,By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là AB ). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt AxBy theo thứ tự ở CD. Gọi N=ADBC,H=MNAB. Chọn câu đúng nhất.

  • A

    MNAB       

  • B

    MN>NH

  • C

    Cả A, B đều đúng      

  • D

    Cả A, B đều sai.

Câu 5 :

Cho hai đường tròn (O)  và (O)  tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,B(O)C(O). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA=9cm,OA=4cm.

  • A

    12cm                           

  • B

    18cm                                

  • C

    10cm                        

  • D

    6cm

Câu 6 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R)  có AB=5cm,AC=12cm và đường cao AH=3cm (H nằm ngoài BC) , khi đó R bằng

  • A

    6cm                          

  • B

    6,5cm                               

  • C

    5cm                        

  • D

    7,5cm

Câu 7 :

Tam giác đều có cạnh 8cm thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là

  • A

    23  cm            

  • B

    43 cm

  • C

    233 cm 

  • D

    433 cm

Câu 8 :

Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M. Nếu MA=R3 thì góc ở tâm ^AOB bằng:

  • A

    1200                                

  • B

    900                          

  • C

    600                     

  • D

    450

Câu 9 :

Cho đường tròn (O;R), ACBD là hai đường kính . Xác định vị trí của hai đường kính ACBD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

  • A

    ACBD

  • B

    AC tạo với BD  góc 45.

  • C

    AC tạo với BD  góc 30.

  • D

    AC tạo với BD  góc 60.

Câu 10 :

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB,CD là dây cung của (O), ^COD=900, CD cắt AB tại M (D nằm giữa CM) và OM=2R. Tính độ dài các đoạn thẳng MD,MC theo R.

  • A

    MC=R22(5+1);MD=R22(51)                                

  • B

    MC=R32(7+1);MD=R32(71)                       

  • C

    MC=R2(7+1);MD=R2(71)                    

  • D

    MC=R22(7+1);MD=R22(71)

Câu 11 :

Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O;R). Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM với đường tròn (O). M là tiếp điểm. Chọn câu đúng nhất.

  • A

    AB+AC2AM           

  • B

    AB+AC2AM          

  • C

    AB+AC=2AM

  • D

    AB+AC<2AM

Câu 12 :

Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE; kéo dài AE cắt BC tại M. Chọn câu đúng nhất.

  • A

    BD>CM 

  • B

    BD<CM 

  • C

    BD=CM

  • D

    Không đủ điều kiện so sánh.

Câu 13 :

Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F. Vẽ đường kính DE của đường tròn (O). Chọn đáp án đúng nhất.

  • A

    AOAI=OEIF         

  • B

    ^AOE=^AIF       

  • C

    A,E,F thẳng hàng

  • D

    Cả A, B, C đều đúng

Câu 14 :

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,AB,AC lần lượt ở D,E,F. Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD,DF lần lượt ở M,N. Khi đó M  là trung điểm của đoạn thẳng

  • A

    EN           

  • B

    AD

  • C

    Cả A, B  đều đúng

  • D

    Cả A, B đều sai

Câu 15 :

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là trung điểm của BC. Dựng đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC và các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN với AD. Chọn câu đúng.

  • A

    AE.AD=2.AM

  • B

    AE.AD=AM2

  • C

    AE.AO=AM2

  • D

    AD.AO=AM2

Câu 16 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), AH là đường cao (HBC). Chọn câu đúng.

  • A

    AB.AC=R.AH     

  • B

    AB.AC=3R.AH

  • C

    AB.AC=2R.AH

  • D

    AB.AC=R2.AH

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và dây AC. Biết rằng khoảng cách từ O lần lượt đến ACBC8cm6cm. Lấy D đối xứng với A qua C. Chọn câu sai ?

  • A

    AC=12cm;BC=16cm

  • B

    Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R.

  • C

    ΔABD  cân tại B.

  • D

    Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì điểm D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 32R.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng :  Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

+ Chứng minh tam giác ABD  cân từ đó tính BD  suy ra quỹ tích điểm D.

Lời giải chi tiết :

Kẻ OH,OK lần lượt vuông góc với ACBC, ta có :

OH=8(cm);OK=6(cm)HA=HC=AC2 ; KB=KC=BC2 (định lí đường kính dây cung).

AB là đường kính nên ^ACB=900.

Do đó tứ giác CHOK là hình chữ nhật (có ba góc vuông)

OH=CK=8(cm)BC=16(cm)

Tương tự có: AC=12(cm)

Xét tam giác vuông OHC,  ta có: OC=OH2+HC2=82+62=10(cm)  (định lý Py – ta – go)

ΔABD có đường cao BC đồng thời là đường trung tuyến nên ΔABD cân tại B.

Ta có BD=BA=2R(cm),  điểm B cố định, 2R không đổi.

Vậy D thuộc đường tròn cố định tâm B và bán kính bằng 2R. Do đó D sai.

Cho nửa đường tròn tâm  O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến AxBy (AxBy và nửa đường tròn cùng thuộc về một nửa mặt phẳng bờ là AB ). Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt AxBy theo thứ tự tại CD.

Câu 2

Tìm vị trí điểm M để tứ giác ABDC có chu vi nhỏ nhất.

  • A.

    CD=3OM

  • B.

    OM//AB.

  • C.

    OMAB.

  • D.

    AC=2OM

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Chỉ ra ABDC là hình thang

Tính chu vi hình thang  ABDC  rồi lập luận để có chu vi nhỏ nhất là CD//AB từ đó suy ra vị trí điểm M.

Lời giải chi tiết :

Xét tứ giác ABDC có: AC//BDABDC là hình thang

Vì hai tiếp tuyến CDAx cắt nhau tại C, hai tiếp tuyến DC  và By  cắt nhau tại D  nên AC=CM;BD=BM  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Chu vi hình thang  ABDC  là:

CABDC=AC+AB+BD+CD=CM+AB+DM+CD=AB+2CD CABDCmin

OM\; \bot CD \Rightarrow OM\; \bot AB \Rightarrow {C_{ABDC\min }} = AB + 2AB = 3AB

Vậy chu vi nhỏ nhất của hình thang ABDC3AB  khi OM\; \bot AB.

Câu 3

Tìm vị trí điểm CD để hình thang ABDC có chu vi bằng 14,  biết AB = 4{\rm{ }}cm.

  • A.

    AC = 4cm;BD = 1cm hoặc AC = 1{\rm{ }}cm;BD = 4cm

  • B.

    AC = 4cm;BD = 1cm

  • C.

    AC = 3cm;BD = 2cm hoặc AC = 2{\rm{ }}cm;BD = 3cm

  • D.

    AC = 3cm;BD = 1cm hoặc AC = 1{\rm{ }}cm;BD = 3cm

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tính CD  dựa vào chu vi ABCD.

+ Tính  BD  dựa vào hệ thức lượng, từ đó tính AC.

Lời giải chi tiết :

Gọi I là trung điểm của CD

Suy ra I là tâm của đường tròn đường kính  CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: AC = CM\;BD = DM

Xét tứ giác ABDC có: AC//BD \Rightarrow ABDC là hình thang

\Rightarrow \,IO là đường trung bình của hình thang ABDC

\Rightarrow IO//AC//BDAC\; \bot AB{\rm{ }} \Rightarrow IO\; \bot AB{\rm{ }}\left( 1 \right)

IO = \dfrac{{AC + BD}}{2} = \dfrac{{CM + DM}}{2} = \dfrac{{CD}}{2}(2)

Suy ra tam giác COD vuông tại O.

{C_{ABDC}} = 14 \Leftrightarrow AB + 2CD = 14 \Rightarrow CD = \dfrac{{14 - AB}}{2} = \dfrac{{14 - 4}}{2} = 5cm

Lại có: CD = CM + DM = AC + BD \Rightarrow AC = CD-BD = 5-BD

Mà tam giác COD vuông tại O.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông COD ta có:

O{M^2} = {\rm{ }}CM.DM \Leftrightarrow {2^2} = AC.BD \Leftrightarrow AC.BD = 4 \Leftrightarrow \left( {5 - BD} \right).BD = 4

\Leftrightarrow 5BD--B{D^2} = 4 \Leftrightarrow B{D^2}--5BD + 4 = 0

\Leftrightarrow B{D^2}-BD-4BD + 4 = 0 \Leftrightarrow BD\left( {BD-1} \right)-4\left( {BD-1} \right) = 0

\Leftrightarrow \left( {BD - 1} \right)\left( {BD - 4} \right) = 4

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}BD - 1 = 0\\BD - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}BD = 1 \Rightarrow AC = 4\\BD = 4 \Rightarrow AC = 1\end{array} \right.

Vậy với AC = 4cm;BD = 1cm hoặc AC = 1{\rm{ }}cm;BD = 4cm thì chu vi của hình thang ABDC bằng  14.

Câu 4 :

Cho nửa đường tròn \left( O \right) có đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax,{\rm{ }}By (Ax,{\rm{ }}By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là AB ). Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt AxBy theo thứ tự ở CD. Gọi N = AD \cap BC,{\rm{ }}H = MN \cap AB. Chọn câu đúng nhất.

  • A

    MN\; \bot AB       

  • B

    MN > NH

  • C

    Cả A, B đều đúng      

  • D

    Cả A, B đều sai.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và định lý Ta-lét

Lời giải chi tiết :

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: AC = CMBD = DM

AC//BD  (vì cùng vuông góc vớiAB )

Theo hệ quả của định lý Ta – lét ta có:

\dfrac{{CN}}{{BN}} = \dfrac{{AC}}{{BD}} \Rightarrow \dfrac{{CN}}{{BN}} = \dfrac{{CM}}{{DM}}

Theo định lý Ta – Lét đảo ta được MN//BD.

            Mà BD\; \bot AB \Rightarrow {\rm{ }}MN \bot \;AB nên A đúng

Theo hệ quả của định lý Ta – Lét ta có:

\dfrac{{NH}}{{BD}} = \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{CB}} = \dfrac{{MN}}{{BD}} \Rightarrow MN = NH nên B sai.

Câu 5 :

Cho hai đường tròn \left( O \right)  và \left( {O'} \right)  tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC,B \in \left( O \right)C \in (O'). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. Tính độ dài BC biết OA = 9cm,O'A = 4cm.

  • A

    12cm                           

  • B

    18cm                                

  • C

    10cm                        

  • D

    6cm

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Sử dụng công thức lượng giác

Lời giải chi tiết :

Ta có IO là tia phân giác của \widehat {BIA}

IO' là tia phân giác của \widehat {CIA}

\widehat {BIA} + \widehat {CIA} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OIO'} = {90^0}

Tam giác OIO' vuông tại IIA là đường cao nên I{A^2} = AO.AO' = 9.4 = 36 \Rightarrow IA = 6cm.

\Rightarrow IA = IB = IC = 6cm (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vậy BC = 2IA = 2.6 = 12\left( {cm} \right).

Câu 6 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \left( {O;R} \right)  có AB = 5cm,AC = 12cm và đường cao AH = 3cm (H nằm ngoài BC) , khi đó R bằng

  • A

    6cm                          

  • B

    6,5cm                               

  • C

    5cm                        

  • D

    7,5cm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất tứ giác nội tiếp

Định lí pi-ta-go

Dấu hiệu và tính chất hai tam giác đồng dạng

Lời giải chi tiết :

Vẽ đường kính AD.

Xét \Delta AHB vuông tại H ta có A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} (Py-ta-go)

AB = 5cm,AH = 3cm nên HB = 4cm.

Ta có tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên \widehat {ADC} + \widehat {ABC} = {180^0} (tính chất)

Lại có \widehat {ABC} + \widehat {ABH} = {180^0} (kề bù) nên \widehat {ADC} = \widehat {ABH}.

Xét \Delta AHB\Delta DCA có:

\widehat {AHB} = \widehat {ACD} = {90^0}

\widehat {ADC} = \widehat {ABH} (cmt)

\Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta DCA\left( {g.g} \right)

\Rightarrow \dfrac{{HB}}{{CA}} = \dfrac{{AB}}{{DA}} \Rightarrow DA = \dfrac{{CA.AB}}{{HB}} = \dfrac{{12.5}}{4} = 15 \Rightarrow OA = \dfrac{{15}}{2} = 7,5cm

Câu 7 :

Tam giác đều có cạnh 8cm thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là

  • A

    2\sqrt 3   cm            

  • B

    4\sqrt 3  cm

  • C

    \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} cm 

  • D

    \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3} cm

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tính chất tam giác đều

Tính chất trung tuyến của tam giác

Lời giải chi tiết :

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều  ABC. Vậy O là giao điểm 3 đường phân giác của tam giác mà tam giác ABC đều nên O là giao điểm 3 đường trung tuyến của tam giác ABC. Vậy bán kính đường tròn (O) là OG với BG là trung tuyến của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên ta tính được:

BG = \sqrt {B{C^2} - C{G^2}}  = \sqrt {{8^2} - {4^2}}  = 4\sqrt 3 \,cm \Rightarrow OG = \dfrac{{BG}}{3} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\,cm

Câu 8 :

Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O;R) cắt nhau tại M. Nếu MA=R\sqrt 3 thì góc ở tâm \widehat {AOB} bằng:

  • A

    {120^0}                                

  • B

    {90^0}                          

  • C

    {60^0}                     

  • D

    {45^0}

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tính chất tiếp tuyến của đường tròn

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Lời giải chi tiết :

AM là tiếp tuyến của đường tròn \left( O \right) nên AM vuông góc với OA

Xét tam giác AOM vuông tại A nên có \tan \widehat {AOM} = \dfrac{{AM}}{{OA}} = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{R} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {AOM} = {60^0}

Mà hai tiếp tuyến AMBM cắt nhau tại M nên ta có OM là phân giác của \widehat {AOB}

Vậy \widehat {AOB} = 2\widehat {AOM} = {2.60^0} = {120^0}

Câu 9 :

Cho đường tròn \left( {O;R} \right), ACBD là hai đường kính . Xác định vị trí của hai đường kính ACBD để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

  • A

    AC \bot BD

  • B

    AC tạo với BD  góc 45^\circ .

  • C

    AC tạo với BD  góc 30^\circ .

  • D

    AC tạo với BD  góc 60^\circ .

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Vẽ AH \bot BD\left( {H \in BD} \right)

+ Chứng minh ABCD  là hình chữ nhật

+ Đánh giá  {S_{ABCD}}  thông qua {S_{ABD}} = \dfrac{1}{2}AB.AD = \dfrac{1}{2}AH.BD

Lời giải chi tiết :

Vẽ AH \bot BD\left( {H \in BD} \right).

Tứ giác ABCDOA = OA = R,OB = OD = R nên là hình bình hành.

AC = BD = 2R do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật, suy ra  {S_{ABCD}} = AB.AD                         

\Delta ABD\widehat A = {90^0}, AH \bot DB nên AB.AD = AH.DB.

AH \le AO,DB = 2R nên {S_{ABCD}} \le 2{R^2} (không đổi). Dấu “=” xảy ra \Leftrightarrow H \equiv O \Leftrightarrow AC \bot BD.

Vậy khi hai đường kính ACBD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

Câu 10 :

Cho đường tròn \left( {O;R} \right) đường kính AB,CD là dây cung của \left( O \right), \widehat {COD} = {90^0}, CD cắt AB tại M (D nằm giữa CM) và OM = 2R. Tính độ dài các đoạn thẳng MD,MC theo R.

  • A

    MC = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 5  + 1} \right);MD = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 5  - 1} \right)                                

  • B

    MC = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\left( {\sqrt 7  + 1} \right);MD = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2}\left( {\sqrt 7  - 1} \right)                       

  • C

    MC = \dfrac{R}{2}\left( {\sqrt 7  + 1} \right);MD = \dfrac{R}{2}\left( {\sqrt 7  - 1} \right)                    

  • D

    MC = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 7  + 1} \right);MD = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 7  - 1} \right)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Gọi H là trung điểm của CD

Dựa vào định lý Pytago để tính toán

Lời giải chi tiết :

\widehat {COD} = {90^0} suy ra tam giác

COD vuông cân tại O nên  CD = R\sqrt 2 .

Gọi H là trung điểm của CD suy ra OH \bot CD  (định lý)

  Vì \Delta HOM vuông tại H,  OH = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}R,OM = 2R.

 Trong tam giác vuông OMH ta có: M{H^2} = O{M^2} - O{H^2} = 4{R^2} - \dfrac{{{R^2}}}{2} = \dfrac{{7{R^2}}}{2} \Rightarrow MH = \dfrac{{\sqrt {14} }}{2}R suy ra MD = MH - AH = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 7  - 1} \right), MC = \dfrac{{R\sqrt 2 }}{2}\left( {\sqrt 7  + 1} \right)

Câu 11 :

Cho điểm A ở ngoài đường tròn \left( {O;R} \right). Vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM với đường tròn \left( O \right). M là tiếp điểm. Chọn câu đúng nhất.

  • A

    AB + AC \le 2AM           

  • B

    AB + AC \ge 2AM          

  • C

    AB + AC = 2AM

  • D

    AB + AC < 2AM

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng định lý đường kính vuông góc dây cung

+  Sử dụng định lý Pytago và mối quan hệ giữa đường cao và đường xiên để đánh giá.

Lời giải chi tiết :

Vẽ OH \bot BC,H \in BC, suy ra BH = HC (định lý đường kính vuông góc dây cung).

Ta có AB + AC = \left( {AH - BH} \right) + \left( {AH + HC} \right) = 2AH.

\Delta MAO\widehat {AMO} = {90^0}

Theo định lý Pitago có A{M^2} + O{M^2} = O{A^2}\Delta HAO\widehat {AHO} = {90^0} nên A{H^2} + O{H^2} = O{A^2}

OB = OM = R, OH \le OB nên OH \le OM.

Do đó O{H^2} \le O{M^2}, suy ra AH \ge AM. Từ đó ta có: AB + AC \ge 2AM.

Câu 12 :

Cho đường tròn \left( {O;r} \right) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE; kéo dài AE cắt BC tại M. Chọn câu đúng nhất.

  • A

    BD > CM 

  • B

    BD < CM 

  • C

    BD = CM

  • D

    Không đủ điều kiện so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ tiếp tuyến tại E của đường tròn \left( O \right) cắt AB,AC lần lượt tại H,K.

Sử dụng tam giác đồng dạng và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để so sánh.

Lời giải chi tiết :

Vẽ tiếp tuyến tại E của đường tròn \left( O \right) cắt AB,AC lần lượt tại H,K.Ta có

ED \bot HK,ED \bot BC \Rightarrow HK//BC.

Gọi N là tiếp điểm của đường tròn \left( O \right) tiếp xúc với AC.

OK,OC là hai tia phân giác của hai góc kề bù EONNOD (tính chất trung tuyến) \Rightarrow \widehat {KOC} = {90^0}.

+ Xét \Delta OEK\Delta CDO\widehat {OEC} = \widehat {CDO}\left( { = {{90}^0}} \right),\widehat {OKE} = \widehat {COD} (cùng phụ với \widehat {EOK}).Do đó \Delta OEK \backsim \Delta CDO \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{OD}} = \dfrac{{OE}}{{CD}} hay \dfrac{{EK}}{r} = \dfrac{r}{{CD}}. Tương tự cũng có \dfrac{{HE}}{r} = \dfrac{r}{{BD}}. Do vậy \dfrac{{EK}}{{HE}} = \dfrac{{BD}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{EK + HE}} = \dfrac{{BD}}{{BD + CD}} hay \dfrac{{EK}}{{HK}} = \dfrac{{BD}}{{BC}}  (1)

+ Trong \Delta ABMHE//BM, áp dụng hệ quả của định lý Thales trong tam giác ta có \dfrac{{HE}}{{BM}} = \dfrac{{AE}}{{AM}}. Tương tự có \dfrac{{EK}}{{CM}} = \dfrac{{AE}}{{AM}}. Do đó \dfrac{{HE}}{{BM}} = \dfrac{{EK}}{{CM}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{CM}} = \dfrac{{EK + HE}}{{CM + BM}} hay \dfrac{{EK}}{{CM}} = \dfrac{{HK}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{HK}} = \dfrac{{CM}}{{BC}}  

Từ (1) và (2) cho ta BD = CM.

Câu 13 :

Cho tam giác ABC. Một đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn tâm I là đường tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC và tiếp xúc với BC tại F. Vẽ đường kính DE của đường tròn \left( O \right). Chọn đáp án đúng nhất.

  • A

    \dfrac{{AO}}{{AI}} = \dfrac{{OE}}{{IF}}         

  • B

    \widehat {AOE} = \widehat {AIF}       

  • C

    A,E,F thẳng hàng

  • D

    Cả A, B, C đều đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét, tính chất hai đường thẳng song song và hai tam giác đồng dạng.

Chú ý rằng tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao hai đường phân giác góc ngoài và 1  đường phân giác góc trong của tam giác.

Lời giải chi tiết :

Theo đề ra có A,O,I thẳng hàng (vì O,I cùng nằm trên tia phân góc A).

+ Gọi M,N là tiếp điểm của \left( O \right); \left( I \right) với AB, ta có OM//IN  nên \dfrac{{AO}}{{AI}} = \dfrac{{OM}}{{IN}} (hệ quả của định lý Thales).                                                  

OM = OE,IN = IF nên có \dfrac{{AO}}{{AI}} = \dfrac{{OE}}{{IF}}.

Mặt khác ED \bot BC,IF \bot BC \Rightarrow OD//IF \Rightarrow \widehat {AOE} = \widehat {AIF}.

+ Xét \Delta OAE\Delta IAF\dfrac{{AO}}{{AI}} = \dfrac{{OE}}{{IF}};\widehat {AOE} = \widehat {AIF},

do đó \Delta OAE \backsim \Delta IAF \Rightarrow \widehat {OAE} = \widehat {IAF}.

Vậy A,E,F thẳng hàng.

Câu 14 :

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC,AB,AC lần lượt ở D,E,F. Đường thẳng qua E song song với BC cắt AD,DF lần lượt ở M,N. Khi đó M  là trung điểm của đoạn thẳng

  • A

    EN           

  • B

    AD

  • C

    Cả A, B  đều đúng

  • D

    Cả A, B đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Dựng AK//BD\left( {K \in DF} \right)

+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và định lý Ta-lét để chỉ ra vị trí điểm M.

Lời giải chi tiết :

+ Vì đường tròn (I) tiếp xúc với  các cạnh tại D,E,F nên suy ra  AE = AF,BE = BD,CD = CF.

+ Dựng AK//BD\left( {K \in DF} \right) ta có: \dfrac{{MN}}{{AK}} = \dfrac{{MD}}{{DA}}, \dfrac{{EM}}{{BD}} = \dfrac{{AM}}{{AD}}.

Ta cần chứng minh: \dfrac{{MD}}{{DA}}.AK = \dfrac{{AM}}{{AD}}.BD \Leftrightarrow \dfrac{{MD}}{{AM}} = \dfrac{{BD}}{{AK}}.

 Nhưng AK = AF = AE, BD = BE nên ta cần chứng minh: \dfrac{{MD}}{{AM}} = \dfrac{{BE}}{{AE}}  (điều này là hiển nhiên theo định lý Ta-let).

Câu 15 :

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là trung điểm của BC. Dựng đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC và các tiếp tuyến AM,AN với đường tròn \left( O \right) (M,N là các tiếp điểm). Gọi E là giao điểm của MN với AD. Chọn câu đúng.

  • A

    AE.AD = 2.AM

  • B

    AE.AD = A{M^2}

  • C

    AE.AO = A{M^2}

  • D

    AD.AO = A{M^2}

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau để chỉ ra AO \bot MN.

+ Gọi H là giao điểm của AOMN.

+ Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

AM,AN là các tiếp tuyến của đường tròn \left( O \right), gọi H là giao điểm của AOMN.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AM = AN;\,OM = ON  nên AO  là đường trung trực của đoạn MN.

Suy ra AO \bot MN.

Ta có tam giác AHE đồng dạng với tam giác ADO (vì \widehat {AHE} = \widehat {ADO} = 90^\circ ;\widehat {DAO} chung)

nên AE.AD = AH.AO. (1)

Cũng theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AMO  ta có: AH.AO = A{M^2}. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE.AD = A{M^2}.

Câu 16 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn \left( {O;R} \right), AH là đường cao \left( {H \in BC} \right). Chọn câu đúng.

  • A

    AB.AC = R.AH     

  • B

    AB.AC = 3R.AH

  • C

    AB.AC = 2R.AH

  • D

    AB.AC = {R^2}.AH

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ đường kính AD của đường tròn \left( O \right)

Sử dụng tính chất hai tam giác đồng dạng để tìm hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Vẽ đường kính AD của đường tròn \left( O \right), suy ra \widehat {ACD} = {90^0}  (vì tam giác ACD có ba đỉnh thuộc đường tròn và AD là đường kính)

Xét \Delta HBA\Delta CDA có:

\widehat {AHB} = \widehat {ACD}\left( { = {{90}^0}} \right);\widehat {HBA} = \widehat {CDA} (góc nội tiếp cùng chắn ),

Do đó \Delta HBA \backsim \Delta CDA \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} \Rightarrow AB.AC = AD.AH. Mà AD = 2R.

Do đó AB.AC = 2R.AH.

close