Bài tập trắc nghiệm Toán 9

Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 5 Toán 9

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ chiều cao $AH$. Chọn câu sai.

A

$A{H^2} = BH.CH$
B

$A{B^2} = BH.BC$
C

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$
D

$AH.AB = BC.AC$

Câu 2 :

Cho hình vẽ sau:

Chọn câu sai.

A

$\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}$
B

$\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}$
C

$\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}$
D

$\tan C = \dfrac{{AH}}{{AC}}$

Câu 3 :

Chọn câu đúng nhất. Nếu $\alpha $ là một góc nhọn bất kỳ, ta có

A

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
B

$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$
C

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$
D

Cả A, B, C đều đúng

Câu 4 :

Cho $\alpha ;\beta $ là hai góc nhọn bất kì và $\alpha < \beta $. Chọn câu đúng.

A

$\sin \alpha > \sin \beta $
B

$\cos \alpha < \cos \beta $
C

$\tan \alpha < \tan \beta $
D

$\cot \alpha < \cot \beta $

Câu 5 :

Tính giá trị của $x$ trên hình vẽ

A

$2\sqrt 6 $
B

$\sqrt 6 $
C

$3\sqrt 6 $
D

$27$

Câu 6 :

Cho $\tan a = 3.$ Khi đó $\cot a$ bằng

A

$\dfrac{1}{3}$
B

$3$
C

$\sqrt 3 $
D

$\dfrac{1}{2}$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3cm,{\rm{ }}BC = 5cm.{\rm{ }}AH$ là đường cao. Tính $BH,CH,AC$ và $AH.$

A

$BH = 2\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$
B

$BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$.
C

$BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 3\,cm$, $AH = 2,4\,cm$
D

$BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 4,2\,cm$

Câu 8 :

Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,4\,cm;\,\widehat C = 32^\circ $
B

$AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 45^\circ $
C

$AB \approx 37,2\,cm;\,AC \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $
D

$AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $

Câu 9 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác $BD$ ($D$ thuộc $AC$ ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$21,3\,cm$
B

$24\,cm$
C

$22,3\,cm$
D

$23,2\,cm$

Câu 10 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ có $AC = 14,BC = 17.$ Khi đó $\tan B$ bằng:

A

$\dfrac{{\sqrt {93} }}{{14}}$
B

$14\sqrt {93} $
C

$\dfrac{{14\sqrt {93} }}{{93}}$
D

$\dfrac{{14}}{{17}}$

Câu 11 :

Giá trị biểu thức ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $ là

A

$1$
B

$2$
C

$4$
D

$ - 1$

Câu 12 :

Cạnh bên của tam giác $ABC$ cân tại $A$ dài $20cm$ , góc ở đáy là $50^\circ $
Độ dài cạnh đáy của tam giác cân là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A

$25\,cm$
B

$25,7\,cm$
C

$26\,cm$
D

$12,9\,cm$

Câu 13 :

Cho hình vẽ, tìm $x.$

A

$x = 0,75$
B

$x = 4,5$
C

$x = 4\sqrt 3 $
D

$x = 4$

Câu 14 :

Cho $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ . Giá trị biểu thức: $M = \dfrac{{\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}$

A

$M = 5$
B

$M = - \dfrac{5}{4}$
C

$M = - 5$
D

$M = \dfrac{1}{5}$

Câu 15 :

Tìm $x;y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 30;y = 28$
B

$x = 2\sqrt {481} ;y = \dfrac{{225}}{8}.$
C

$x = 18;y = 40.$
D

$x = 40;y = 18.$

Câu 16 :

Tính số đo góc nhọn $x,$ biết: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

A

$45^\circ $
B

$30^\circ $
C

$60^\circ $
D

$90^\circ $

Câu 17 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$

A

$\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}$
B

$3\sqrt {74} \,cm$
C

$22\,cm$
D

$21\,cm$

Câu 18 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,{\rm{ }}AB = {\rm{1}}2cm,{\rm{ }}AC = 16cm,$ tia phân giác $AD,$ đường cao $AH.$

Tính $HD.$

A

$\dfrac{{48}}{{35}}\,\,cm$
B

$7,2\,\,cm$
C

$\dfrac{{60}}{7}\,cm$
D

$\dfrac{{48}}{{25}}\,cm$

Câu 19 :

Tính giá trị $C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}$

A

$25$
B

$16$
C

$9$
D

$25 + 48\sin \alpha .\cos \alpha $

Câu 20 :

Cho biết $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức: $M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}$

A

$\dfrac{{89}}{{891}}$
B

$\dfrac{{89}}{{159}}$
C

$\dfrac{{89}}{{459}}$
D

$ - \dfrac{{89}}{{459}}$

Câu 21 :

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần $\cot {70^0},{\rm{ tan}}\,{33^0},\cot {55^0},{\rm{ tan}}{28^0},{\rm{ cot}}{40^0}$

A

$\tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \cot 40^\circ < \cot 55^\circ < \cot 70^\circ $
B

$\tan 28^\circ < \cot 70^\circ < \tan 33^\circ < \cot 55^\circ < \cot 40^\circ $
C

$\cot 70^\circ < \tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \cot 55^\circ < \cot 40^\circ $
D

$\cot 70^\circ > \tan 28^\circ > \tan 33^\circ > \cot 55^\circ > \cot 40^\circ $

Câu 22 :

Cho hình thang cân $ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);$ $CD = 2AD = 2AB = 8$. Tính diện tích của hình thang đó.

A
$12\sqrt 2 $
B
$12\sqrt 3 $
C
$12$
D
$12\sqrt 6 $

Câu 23 :

Cho hình thang vuông $ABCD$ có hai đáy $AB = 12\,cm,\,\,DC = 16\,\,cm,$ cạnh xiên $AD = 8\,cm.$ Tính các góc và cạnh góc vuông của hình thang.

A
$\begin{array}{l}
BC = 3\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {120^0},\,\,\angle D = {60^0}
\end{array}$
B
$\begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {120^0},\,\,\angle D = {60^0}
\end{array}$
C
$\begin{array}{l}
BC = 3\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {135^0},\,\,\angle D = {45^0}
\end{array}$
D
$\begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {135^0},\,\,\angle D = {45^0}
\end{array}$

Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AC = AD = 20\,\,cm,\,\,\angle B = {60^0}$ và $\angle A = {90^0}.$ Kẻ $BE \bot DC$ kéo dài.

Câu 24

Tính $BE$?

A.
$BE = 10\sqrt 2 \,\,cm$
B.
$BE = 10\,\,cm$
C.
$BE = 10\sqrt 3 \,\,cm$
D.
$BE = 20 \,\,cm$

Câu 25

Tính $CE.$?

A.
$CE=10cm$
B.
$CE \approx 10,35\,\,cm$
C.
$CE = 10\sqrt 3 \,\,cm$
D.
$CE = 10\sqrt 2 \,\,cm$

Câu 26

Tính $CD$?

A.
$CD = 10\sqrt 3 \,\,cm$
B.
$CD=10cm$
C.
$CD \approx 10,35\,\,cm$
D.
$CD=20cm$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB{\rm{ }} = {\rm{ 15}}cm;AC = 20cm$. Phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $E$.

Câu 27

Giải tam giác $ABC$

A.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {36^0}52'\,\,;\,\,\angle C = {53^0}8'$
B.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {53^0}8'\,\,;\,\,\angle C = {36^0}52'$
C.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {41^0}25'\,\,;\,\,\angle C = {48^0}35'$
D.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {48^0}35'\,\,;\,\,\angle C = {41^0}25'$

Câu 28

Tính $BE;CE$.

A.

$BE = \dfrac{{125}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{100}}{7}$
B.

$BE = \dfrac{{125}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{75}}{7}$
C.

$BE = \dfrac{{75}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{100}}{7}$
D.

$BE = \dfrac{{100}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{125}}{7}$

Câu 29 :

Bạn An đang học vẽ hình bằng phần mềm máy tính. An vẽ hình một ngôi nhà với phần mái có dạng hình tam giác cân (hình vẽ bên). Biết góc tạo bởi phần mái và mặt phẳng nằm ngang là ${30^0}$, chiều dài mỗi bên dốc mái là $3,5\,\,m.$ Tính gần đúng bề rộng của mái nhà.

A
$6,52\,m.$
B
$6,06\,m.$
C
$5,86\,m.$
D
$5,38\,m.$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB{\rm{ }} = {\rm{ 6}}cm,{\rm{ }}AC{\rm{ }} = 4,5cm.$

Câu 30

Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác.

A.
$\angle B = {53^0}8'\,\,;\,\,\,\angle C = {36^0}52'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$
B.
$\angle B = {36^0}52'\,\,;\,\,\,\angle C = {53^0}8'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$
C.
$\angle B = {48^0}35'\,\,;\,\,\,\angle C = {41^0}25'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$
D.
$\angle B = {41^0}25'\,\,;\,\,\,\angle C = {48^0}35'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$

Câu 31

Tính diện tích của tam giác ABC.

A.
$13,5c{m^2}$
B.
$12,5c{m^2}$
C.
$14,5c{m^2}$
D.
$11,5c{m^2}$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,$\angle B = {35^0}$và $AB{\rm{ }} = {\rm{ 6}}cm$. Vẽ đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$.

Câu 32

Giải tam giác vuông $ABC$.

A.
$AC = 8,57cm\,\,;\,\,BC = 10,46cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$
B.
$AC = 4,9cm\,\,;\,\,BC = 7,75cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$
C.
$AC = 4,2cm\,\,;\,\,BC = 7,32cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$
D.
$AC = 3,44cm\,\,;\,\,BC = 6,92cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$

Câu 33

Tính diện tích $\Delta AHM$

A.

${S_{\Delta AHM}} = 2,17\,\,\left( {đvdt} \right)$
B.

${S_{\Delta AHM}} = 3,24\,\,\left( {đvdt} \right)$
C.

${S_{\Delta AHM}} = 2,86\,\,\left( {đvdt} \right)$
D.

${S_{\Delta AHM}} = 3,35\,\,\left( {đvdt} \right)$

Câu 34 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$và đường trung tuyến $AM$. Biết $AH = 3cm;\,HB = 4cm.$ Hãy tính $AB,AC,AM$ và diện tích tam giác $ABC.$

A

$AB = 5cm,\,\,AC = \dfrac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \dfrac{{25}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
B

$AB = 5cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = 4cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{39}}{4}\,\,c{m^2}$
C

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = \dfrac{{14}}{4}cm,\,\,AM = 3cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
D

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = \dfrac{{27}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = 9\,\,c{m^2}$

Câu 35 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4cm,\,\,\,AC = 4\sqrt 3 ,\,\,BC = 8cm.$

Tính số đo $\angle B,\,\,\angle C$ và độ dài đường cao $AH$ của $\Delta ABC.$

A

$\angle B = {45^0}\,\,;\,\,\angle C = {45^0}\,\,;\,\,AH = \sqrt 3 $
B

$\angle B = {50^0}\,\,;\,\,\angle C = {40^0}\,\,;\,\,AH = 2$
C

$\angle B = {30^0}\,\,;\,\,\angle C = {60^0}\,\,;\,\,AH = 4$
D

$\angle B = {60^0}\,\,;\,\,\angle C = {30^0}\,\,;\,\,AH = 2\sqrt 3 $

Câu 36 :

Cho $\Delta MNP$ vuông tại$M$ có đường cao $MH.$ Gọi $I,\,\,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $MN,\,\,MP.$ Biết $HK = 9\,cm,\,\,\,HI = 6\,cm.$ Khi đó tính độ dài các cạnh của $\Delta MNP.$

A

$MN = 12\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$
B

$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$
C

$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 17,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$
D

$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{5\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$

Câu 37 :

Cho đoạn thẳng $AB = 2a$ và trung điểm $O$ của nó. Trên nửa mặt phẳng bờ $AB$ vẽ các tia $Ax,By\;$ vuông góc với $AB.$ Qua $O$ vẽ một tia cắt tia $Ax$ tại $M$ sao cho $\widehat {AOM} = \alpha < {90^0}$ . Qua $O$ vẽ tia thứ hai cắt tia $By$ tại $N$ sao cho $\widehat {MON} = 90^\circ $ . Khi đó, diện tích tam giác $MON$ là

A

$\dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
B

$\dfrac{{{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$
C

$\dfrac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
D

$\dfrac{{2{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Câu 38 :

Cho tam giác $ABC$ có diện tích là $900\,c{m^2}.$ Điểm $D$ ở giữa $BC$ sao cho $BC = 5DC,$ điểm $E$ ở giữa $AC$ sao cho $AC = 4AE,$ hai điểm $F,G$ ở giữa $BE$ sao cho $BE = 6GF = 6GE.$ Tính diện tích tam giác $DGF.$

A
$80cm^2$
B
$90cm^2$
C
$100cm^2$
D
$120cm^2$

Câu 39 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C$.

A

$0$
B

$1$
C

$ - 1$
D

$2$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ chiều cao $AH$. Chọn câu sai.

A

$A{H^2} = BH.CH$
B

$A{B^2} = BH.BC$
C

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$
D

$AH.AB = BC.AC$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta thấy $AH.BC = AB.AC$ nên D sai.

Câu 2 :

Cho hình vẽ sau:

Chọn câu sai.

A

$\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}$
B

$\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}$
C

$\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}$
D

$\tan C = \dfrac{{AH}}{{AC}}$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

+ Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có $\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}$ nên A đúng.

+ Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}$ nên B đúng.

+ Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}$ nên C đúng.

+ Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có $\tan C = \dfrac{{AH}}{{CH}}$ nên D sai.

Câu 3 :

Chọn câu đúng nhất. Nếu $\alpha $ là một góc nhọn bất kỳ, ta có

A

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
B

$\tan \alpha .\cot \alpha = 1$
C

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$
D

Cả A, B, C đều đúng

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Nếu $\alpha $ là một góc nhọn bất kỳ thì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\tan \alpha .\cot \alpha = 1$

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$ nên cả A, B, C đều đúng

Câu 4 :

Cho $\alpha ;\beta $ là hai góc nhọn bất kì và $\alpha < \beta $. Chọn câu đúng.

A

$\sin \alpha > \sin \beta $
B

$\cos \alpha < \cos \beta $
C

$\tan \alpha < \tan \beta $
D

$\cot \alpha < \cot \beta $

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với $\alpha ;\beta $ là hai góc nhọn bất kì và $\alpha < \beta $ thì

$\sin \alpha < \sin \beta ;\,\cos \alpha > \cos \beta ;\tan \alpha < \tan \beta ;\cot \alpha > \cot \beta .$

Vậy A, B, D sai, C đúng.

Câu 5 :

Tính giá trị của $x$ trên hình vẽ

A

$2\sqrt 6 $
B

$\sqrt 6 $
C

$3\sqrt 6 $
D

$27$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền”

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $MNP$ vuông tại $M,$ có $MK \bot NP$ ta có $M{K^2} = NK.PK$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Hay ${x^2} = 6.9 \Leftrightarrow {x^2} = 54 \Rightarrow x = 3\sqrt 6 \,.$

Câu 6 :

Cho $\tan a = 3.$ Khi đó $\cot a$ bằng

A

$\dfrac{1}{3}$
B

$3$
C

$\sqrt 3 $
D

$\dfrac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng $\tan a.\cot a = 1$ để tìm $\cot a.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\tan a.\cot a = 1$ nên $\cot a = \dfrac{1}{{\tan a}} = \dfrac{1}{3}.$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 3cm,{\rm{ }}BC = 5cm.{\rm{ }}AH$ là đường cao. Tính $BH,CH,AC$ và $AH.$

A

$BH = 2\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$
B

$BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$.
C

$BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 3\,cm$, $AH = 2,4\,cm$
D

$BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 4,2\,cm$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

+ Theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow A{C^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AC = 4cm$

+ Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = \dfrac{9}{5} = 1,8cm$

Mà $BH + CH = BC \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2\,cm.$

Lại có $AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{3.4}}{5} = 2,4cm$

Vậy $BH = 1,8\,cm$, $CH = 3,2\,cm$, $AC = 4\,cm$, $AH = 2,4\,cm$

Câu 8 :

Giải tam giác vuông $ABC,$ biết $\widehat A = 90^\circ \;$ và $BC = 50cm;\widehat B = {48^o}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

A

$AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,4\,cm;\,\widehat C = 32^\circ $
B

$AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 45^\circ $
C

$AB \approx 37,2\,cm;\,AC \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $
D

$AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vuông đó

Sử dụng các tỉ số lượng giác, định lý về góc trong tam giác, hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ có: $\widehat A = {90^o}$
$\widehat B + \widehat C = 90^\circ$ suy ra $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = {90^o} - {48^o} = {42^o}$ ($\widehat C$ và $\widehat B$ là hai góc phụ nhau)
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

$AC = BC.\sin B = 50.\sin 48^\circ \approx 37,2cm$

$AB = BC.\cos B = 50.\cos 48^\circ \approx 33,5cm$

Vậy $AC \approx 37,2\,cm;\,AB \approx 33,5\,cm;\,\widehat C = 42^\circ $ .

Câu 9 :

A

$21,3\,cm$
B

$24\,cm$
C

$22,3\,cm$
D

$23,2\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tính góc $ABC$ từ đó suy ra góc $ABD$

+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông $ABD$ để tính $BD.$

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ $

Mà $BD$ là phân giác góc $ABC$ nên $\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ $

Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A$ ta có $BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm$

Câu 10 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ có $AC = 14,BC = 17.$ Khi đó $\tan B$ bằng:

A

$\dfrac{{\sqrt {93} }}{{14}}$
B

$14\sqrt {93} $
C

$\dfrac{{14\sqrt {93} }}{{93}}$
D

$\dfrac{{14}}{{17}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Tính $AB$ theo định lý Pytago

+ Tính $\tan B$ theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ theo định lý Pytago ta có $A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{B^2} = {17^2} - {14^2} \Rightarrow AB = \sqrt {93} $

Lại có $\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{14}}{{\sqrt {93} }} = \dfrac{{14\sqrt {93} }}{{93}}$

Câu 11 :

Giá trị biểu thức ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $ là

A

$1$
B

$2$
C

$4$
D

$ - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi biểu thức đã cho thành hằng đẳng thức thứ nhất

Sử dụng ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ để tính giá trị biểu thức

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $$ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2}$ $ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {1^2} = 1$

(vì ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$)

Câu 12 :

A

$25\,cm$
B

$25,7\,cm$
C

$26\,cm$
D

$12,9\,cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Kẻ đường cao $AH.$

+ Tính $HB$ dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

+ Lập luận dựa vào tính chất tam giác cân để tính cạnh đáy $BC.$

Lời giải chi tiết :

Kẻ $AH \bot BC$ tại $H.$ Suy ra $H$ là trung điểm của $BC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $AH$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có $\cos \widehat {ABH} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\cos \widehat {ABH}$$ = 20.\cos 50^\circ $

Mà $H$ là trung điểm của $BC$ nên $BC = 2BH = 2.2.\cos 50^0\approx 25,7\,cm$

Vậy $BC \approx 25,7\,cm.$

Câu 13 :

Cho hình vẽ, tìm $x.$

A

$x = 0,75$
B

$x = 4,5$
C

$x = 4\sqrt 3 $
D

$x = 4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: “ bình phương cạnh góc vuông bằng tích hình chiếu của nó lên cạnh huyền với cạnh huyền”

Lời giải chi tiết :

Đặt tên như hình vẽ trên.

Tam giác $MNP$ vuông tại $M$ có $MH \bot NP$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $M{N^2} = N{H^2}.NP \Rightarrow {6^2} = x.8 \Rightarrow x = 36:8 = 4,5.$

Vậy $x = 4,5.$

Câu 14 :

Cho $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ . Giá trị biểu thức: $M = \dfrac{{\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }}$

A

$M = 5$
B

$M = - \dfrac{5}{4}$
C

$M = - 5$
D

$M = \dfrac{1}{5}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos \alpha $ để xuất hiện $\tan \alpha $

Thay $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ vào để tính $M.$

Lời giải chi tiết :

Vì $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ nên $\cos \alpha \ne 0.$ Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos \alpha $ ta được

$M = \dfrac{{\left( {\sin \alpha - 2\cos \alpha } \right):\cos \alpha }}{{\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right):\cos \alpha }}$ $ = \dfrac{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2}}{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}} = \dfrac{{\tan \alpha - 2}}{{\tan \alpha - 1}}$

Thay $\tan \alpha = \dfrac{3}{4}$ vào $M$ ta được $M = \dfrac{{\dfrac{3}{4} - 2}}{{\dfrac{3}{4} - 1}} = 5.$

Câu 15 :

Tìm $x;y$ trong hình vẽ sau:

A

$x = 30;y = 28$
B

$x = 2\sqrt {481} ;y = \dfrac{{225}}{8}.$
C

$x = 18;y = 40.$
D

$x = 40;y = 18.$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Lời giải chi tiết :

Ta có $BC = BH + HC = y + 32$

Áp dụng hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC$ trong tam giác vuông $ABC$ ta có

$\begin{array}{l}{30^2} = y\left( {y + 32} \right)\\ \Leftrightarrow {y^2} + 32y - 900 = 0\\ \Leftrightarrow {y^2} + 50y - 18y - 90 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 50} \right) - 18\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {y - 18} \right)\left( {y + 50} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y - 18 = 0\\y + 50 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 18\left( N \right)\\y = - 50\,\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}$

Suy ra $y = 18 \Rightarrow BC = 18 + 32 = 50$

Áp dụng hệ thức lượng $A{C^2} = CH.BC$ ta có

${x^2} = 32.50 \Leftrightarrow {x^2} = 1600 \Rightarrow x = 40.$

Vậy $x = 40;y = 18.$

Câu 16 :

Tính số đo góc nhọn $x,$ biết: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

A

$45^\circ $
B

$30^\circ $
C

$60^\circ $
D

$90^\circ $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ để biến đổi giả thiết

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ $ \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x$

Từ đó ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x = \dfrac{1}{2}$

$ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x = \dfrac{3}{2}$ $ \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ (do $x$ là góc nhọn nên $\cos x > 0$ )

Suy ra $x = 30^\circ .$

Câu 17 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A.$ Biết $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7}$. Đường cao $AH = 15cm.$ Tính ${\rm{ }}HC.$

A

$\dfrac{{15\sqrt {74} }}{7}$
B

$3\sqrt {74} \,cm$
C

$22\,cm$
D

$21\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đặt $AB = 5a;AC = 7a$ $\left( {a > 0} \right)$

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông một cách thích hợp để tìm $HC.$

Lời giải chi tiết :

Vì $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow AB = 5a;AC = 7a$ với $a > 0.$

Theo hệ thức lượng trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{15}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {5a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {7a} \right)}^2}}}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{1}{{25{a^2}}} + \dfrac{1}{{49{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{225}} = \dfrac{{74}}{{1225{a^2}}} \Rightarrow {a^2} = \dfrac{{666}}{{49}} \Rightarrow a = \dfrac{{3\sqrt {74} }}{7}$

Suy ra $AB = \dfrac{{15\sqrt {74} }}{7};AC = 3\sqrt {74} $

Lại có $AH.BC = AB.AC \Rightarrow BC = \dfrac{{AB.AC}}{{AH}} = \dfrac{{222}}{7}$

Mà $A{C^2} = CH.BC \Rightarrow HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = 21\,cm.$

Câu 18 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,{\rm{ }}AB = {\rm{1}}2cm,{\rm{ }}AC = 16cm,$ tia phân giác $AD,$ đường cao $AH.$

Tính $HD.$

A

$\dfrac{{48}}{{35}}\,\,cm$
B

$7,2\,\,cm$
C

$\dfrac{{60}}{7}\,cm$
D

$\dfrac{{48}}{{25}}\,cm$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính $BD.$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính $BH$

Từ đó tính $HD.$

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác vuông $ABC$ ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (định lý Pytago)

Hay $B{C^2} = {12^2} + {16^2} \Rightarrow B{C^2} = 400 \Rightarrow BC = 20\,cm$

Vì $AD$ là phân giác góc $A$ nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có

$\dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{12}} = \dfrac{{DC}}{{16}} = \dfrac{{BD + DC}}{{12 + 16}} = \dfrac{{BC}}{{28}} = \dfrac{{20}}{{28}} = \dfrac{5}{7}$

Suy ra $BD = 12.\dfrac{5}{7} = \dfrac{{60}}{7}\,cm$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC$ ta có $A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{{20}} = 7,2\,cm$

Lại có $HD = BD - BH = \dfrac{{60}}{7} - 7,2 = \dfrac{{48}}{{35}}\,\,cm$

Câu 19 :

Tính giá trị $C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}$

A

$25$
B

$16$
C

$9$
D

$25 + 48\sin \alpha .\cos \alpha $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng hằng đẳng thức và đẳng thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Lời giải chi tiết :

Ta có $C = {(3\sin \alpha + 4\cos \alpha )^2} + {\left( {4\sin \alpha - 3\cos \alpha } \right)^2}$$ = 9{\sin ^2}\alpha + 24\sin \alpha .\cos \alpha + 16{\cos ^2}\alpha + 16{\sin ^2}\alpha - 24\sin \alpha \cos \alpha + 9{\cos ^2}\alpha $

$ = 25{\sin ^2}\alpha + 25{\cos ^2}\alpha = 25\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 25.1 = 25$

Vậy $C = 25.$

Câu 20 :

Cho biết $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$. Tính giá trị biểu thức: $M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}$

A

$\dfrac{{89}}{{891}}$
B

$\dfrac{{89}}{{159}}$
C

$\dfrac{{89}}{{459}}$
D

$ - \dfrac{{89}}{{459}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chia cả tử và mẫu của $M$ cho ${\cos ^3}\alpha $

Thay $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$ để tính $M.$

Lời giải chi tiết :

Vì $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$ nên $\cos \alpha \ne 0.$

Chia cả tử và mẫu của $M$ cho $\cos^3 \alpha$ ta được

$M = \dfrac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }}$$ = \dfrac{{\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \dfrac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}$

Thay $\tan \alpha = \dfrac{2}{3}$ ta được $M = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27.{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \dfrac{{ - 89}}{{459}}.$

Câu 21 :

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần $\cot {70^0},{\rm{ tan}}\,{33^0},\cot {55^0},{\rm{ tan}}{28^0},{\rm{ cot}}{40^0}$

A

$\tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \cot 40^\circ < \cot 55^\circ < \cot 70^\circ $
B

$\tan 28^\circ < \cot 70^\circ < \tan 33^\circ < \cot 55^\circ < \cot 40^\circ $
C

$\cot 70^\circ < \tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \cot 55^\circ < \cot 40^\circ $
D

$\cot 70^\circ > \tan 28^\circ > \tan 33^\circ > \cot 55^\circ > \cot 40^\circ $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng mối quan hệ: “Hai góc phụ nhau thì cotang góc này bằng tan góc kia” để đưa về cùng giá trị lượng giác $\tan .$

+ So sánh: Với $\alpha ;\beta $ là hai góc nhọn bất kì và thì $\tan \alpha < \tan \beta .$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\cot 70^\circ = \tan 20^\circ $ vì $70^\circ + 20^\circ = 90^\circ $ ; $\cot \,55^\circ = \tan 35^\circ \,\,$ vì $55^\circ + 35^\circ = 90^\circ $

$\cot 40^\circ = \tan 50^\circ $ vì $40^\circ + 50^\circ = 90^\circ $

Lại có $20^\circ < 28^\circ < 33^\circ < 35^\circ < 50^\circ $ hay $\tan 20^\circ < \tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \tan 35^\circ < \tan 50^\circ $

Suy ra $\cot 70^\circ < \tan 28^\circ < \tan 33^\circ < \cot 55^\circ < \cot 40^\circ $

Câu 22 :

Cho hình thang cân $ABCD\,\,\,\left( {AB\parallel CD} \right);$ $CD = 2AD = 2AB = 8$. Tính diện tích của hình thang đó.

A
$12\sqrt 2 $
B
$12\sqrt 3 $
C
$12$
D
$12\sqrt 6 $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Kẻ $AH,\,\,BK$ cùng vuông góc với $CD$ $\left( {H,\,\,K \in CD} \right)$. Chứng minh $ABKH$ là hình chữ nhật.

- Tính $DH,\,\,CK$.

- Áp dụng định lí Pytago tính $AH$.

- Tính diện tích hình thang: ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}$.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $AH,\,\,BK$ cùng vuông góc với $CD$ $\left( {H,\,\,K \in CD} \right)$.

Xét tứ giác $ABKH$ có: $\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel HK\\AH\parallel BK\end{array} \right.$, suy ra $ABKH$ là hình bình hành.

Lại có $\angle AHK = {90^0}$ nên $ABKH$ là hình chữ nhật, do đó $HK = AB = 4$.

Xét $\Delta ADH$ và $\Delta BCK$ có:

$\angle AHD = \angle BKC = {90^0}$;

$AD = BC$ (tính chất hình thang cân);

$\angle ADH = \angle ACK$ (tính chất hình thang cân).

$ \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK$ (cạnh huyền – góc nhọn) $ \Rightarrow DH = CK$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $DH + CK = CD - HK = 8 - 4 = 4$.

Do đó $DH = CK = 2$.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $ADH$ ta có:

$A{H^2} = A{D^2} - D{H^2}$ $ \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12$ $ \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 $.

Vậy diện tích hình thang $ABCD$ là: ${S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}$ $ = \dfrac{{\left( {4 + 8} \right).2\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 $.

Câu 23 :

Cho hình thang vuông $ABCD$ có hai đáy $AB = 12\,cm,\,\,DC = 16\,\,cm,$ cạnh xiên $AD = 8\,cm.$ Tính các góc và cạnh góc vuông của hình thang.

A
$\begin{array}{l}
BC = 3\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {120^0},\,\,\angle D = {60^0}
\end{array}$
B
$\begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {120^0},\,\,\angle D = {60^0}
\end{array}$
C
$\begin{array}{l}
BC = 3\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {135^0},\,\,\angle D = {45^0}
\end{array}$
D
$\begin{array}{l}
BC = 4\sqrt 3 \,\,cm\\
\angle A = {135^0},\,\,\angle D = {45^0}
\end{array}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Kẻ $AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.$

Sử dụng tính chất hình thang vuông, hình chữ nhật; định lý Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.$

Có hình thang vuông $ABCD$ cạnh xiên $AD \Rightarrow \angle ABC = \angle BCD = {90^o}.$

Dễ thấy $ABCH$ là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) $ \Rightarrow HC = AB = 12\,cm$

$ \Rightarrow HD = DC - HC = 16 - 12 = 4\,\,(cm)$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta AHD$ vuông tại $H$ ta có:

$\begin{array}{l}A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \Rightarrow AH = \sqrt {A{D^2} - H{D^2}} = \sqrt {{8^2} - {4^2}} = 4\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right).\\ \Rightarrow BC = AH \approx 6,93\,\,cm\end{array}$

Xét $\Delta AHD$ vuông tại $H$ ta có: $\cos \angle D = \dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle D = {60^o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DAH = {90^o} - \angle D = {30^o}\\ \Rightarrow \angle BAD = \angle BAH + \angle DAH = {90^o} + {30^o} = {120^o}.\end{array}$

Cho tứ giác $ABCD$ có $AB = AC = AD = 20\,\,cm,\,\,\angle B = {60^0}$ và $\angle A = {90^0}.$ Kẻ $BE \bot DC$ kéo dài.

Câu 24

Tính $BE$?

A.
$BE = 10\sqrt 2 \,\,cm$
B.
$BE = 10\,\,cm$
C.
$BE = 10\sqrt 3 \,\,cm$
D.
$BE = 20 \,\,cm$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta có:

$DB = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}} = 20\sqrt 2 \,\,cm.$

Mà $\Delta ABD$ có $AB = AD = 20\,cm \Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại$A.$

$ \Rightarrow \angle ABD = \angle ADB = {45^0}$ (tính chất tam giác cân).

Theo đề bài ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 20\,cm\\\angle ABC = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác đều.

$ \Rightarrow BC = 20\,cm;\,\,\,\angle BAC = \angle BCA = {60^0}.$

Lại có: $AC = AD = 20\,\,cm \Rightarrow \Delta ACD$ cân tại $A$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ACD = \angle ADC = \dfrac{{{{180}^0} - \angle CAD}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - \angle BAC} \right)}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \left( {{{90}^0} - {{60}^0}} \right)}}{2} = {75^0}.\\ \Rightarrow \angle EDB = \angle ADC - \angle ADB = {75^0} - {45^0} = {30^0}.\end{array}$

Xét $\Delta BED$ vuông tại $E$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BE = BD.\sin \angle EDB = 20\sqrt 2 .\sin {30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{1}{2} = 10\sqrt 2 \,\,cm.\\ED = BD.cos\angle EDB = 20\sqrt 2 .cos{30^0} = 20\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,cm.\end{array} \right.$

Câu 25

Tính $CE.$?

A.
$CE=10cm$
B.
$CE \approx 10,35\,\,cm$
C.
$CE = 10\sqrt 3 \,\,cm$
D.
$CE = 10\sqrt 2 \,\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pitago cho$\Delta BEC$ vuông tại $E$ ta có:

$\begin{array}{l}EC = \sqrt {B{C^2} - B{E^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{\left( {10\sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = 10\sqrt 2 \,\,cm.\end{array}$

Câu 26

Tính $CD$?

A.
$CD = 10\sqrt 3 \,\,cm$
B.
$CD=10cm$
C.
$CD \approx 10,35\,\,cm$
D.
$CD=20cm$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $ CD = ED - EC = 10\sqrt 6 - 10\sqrt 2 $$= 10\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,\,cm \approx 10,35\,\,cm$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB{\rm{ }} = {\rm{ 15}}cm;AC = 20cm$. Phân giác của góc $A$ cắt $BC$ tại $E$.

Câu 27

Giải tam giác $ABC$

A.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {36^0}52'\,\,;\,\,\angle C = {53^0}8'$
B.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {53^0}8'\,\,;\,\,\angle C = {36^0}52'$
C.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {41^0}25'\,\,;\,\,\angle C = {48^0}35'$
D.
$BC = 25\,\,;\,\,\angle B = {48^0}35'\,\,;\,\,\angle C = {41^0}25'$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Py-ta-go, tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pytago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $ \Leftrightarrow B{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625$$ \Rightarrow BC = 25$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{20}}{{25}} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\angle B + \angle C = {90^0}$$ \Leftrightarrow {53^0}8' + \angle C = {90^0}$$ \Leftrightarrow \angle C \approx {36^0}52'$

Câu 28

Tính $BE;CE$.

A.

$BE = \dfrac{{125}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{100}}{7}$
B.

$BE = \dfrac{{125}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{75}}{7}$
C.

$BE = \dfrac{{75}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{100}}{7}$
D.

$BE = \dfrac{{100}}{7}\,\,;\,\,CE = \dfrac{{125}}{7}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất tia phân giác.

Lời giải chi tiết :

Vì $AE$ là tia phân giác góc $A$ nên ta có:

$ \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{{BE + EC}}{{AB + AC}}$$ = \dfrac{{BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{{25}}{{15 + 20}} = \dfrac{5}{7}$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BE = \dfrac{5}{7}AB = \dfrac{5}{7}.15 = \dfrac{{75}}{7}\\EC = \dfrac{5}{7}AC = \dfrac{5}{7}.20 = \dfrac{{100}}{7}\end{array} \right..$

Câu 29 :

A
$6,52\,m.$
B
$6,06\,m.$
C
$5,86\,m.$
D
$5,38\,m.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Áp dụng phương pháp tính cạnh trong tam giác vuông khi biết 1 góc và cạnh huyền.

Lời giải chi tiết :

Ta vẽ lại mô hình mái nhà như hình vẽ bên.

Theo đề bài cho ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A$

$AB = AC = 3,5m$ và $\angle B = \angle C = {30^0}$

Thì khi đó bề rộng mái nhà chính là độ dài cạnh $BC.$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$

$ \Rightarrow AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\Delta ABC$ (tính chất).

Xét $\Delta ABM$ vuông tại $M$ ta có:

$\cos B = \dfrac{{BM}}{{AB}} \Rightarrow cos\,{30^0} = \dfrac{{BM}}{{3,5}} \Rightarrow BM = \cos \,{30^0}.3,5 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.3,5 = \dfrac{{7\sqrt 3 }}{4}\,\,\,\left( m \right).$

$ \Rightarrow BC = 2BM\dfrac{{7\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( m \right) \approx 6,06\,\,m.$

Vậy bề rộng mái nhà là $6,06\,m.$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB{\rm{ }} = {\rm{ 6}}cm,{\rm{ }}AC{\rm{ }} = 4,5cm.$

Câu 30

Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác.

A.
$\angle B = {53^0}8'\,\,;\,\,\,\angle C = {36^0}52'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$
B.
$\angle B = {36^0}52'\,\,;\,\,\,\angle C = {53^0}8'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$
C.
$\angle B = {48^0}35'\,\,;\,\,\,\angle C = {41^0}25'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$
D.
$\angle B = {41^0}25'\,\,;\,\,\,\angle C = {48^0}35'\,\,;\,\,AH = 3,6cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pitago.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông : $AH.BC = AB.AC$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có:

$A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$ $ \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + 4,{5^2} = 56,25$$ \Rightarrow BC = 7,5\,\,cm.$

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$sinB = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{{4,5}}{{7,5}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \angle B \approx {36^0}52'$

Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {36^0}52' + \angle C = {90^0}$$ \Leftrightarrow \angle C \approx {53^0}8'$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC$$ \Leftrightarrow AH.7,5 = 4,5.6$$ \Leftrightarrow AH = 3,6$

Câu 31

Tính diện tích của tam giác ABC.

A.
$13,5c{m^2}$
B.
$12,5c{m^2}$
C.
$14,5c{m^2}$
D.
$11,5c{m^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết :

Ta có: ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AH.BC = \dfrac{1}{2}.3,6.7,5 = 13,5\,\,c{m^2}.$

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$,$\angle B = {35^0}$và $AB{\rm{ }} = {\rm{ 6}}cm$. Vẽ đường cao $AH$ và trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$.

Câu 32

Giải tam giác vuông $ABC$.

A.
$AC = 8,57cm\,\,;\,\,BC = 10,46cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$
B.
$AC = 4,9cm\,\,;\,\,BC = 7,75cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$
C.
$AC = 4,2cm\,\,;\,\,BC = 7,32cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$
D.
$AC = 3,44cm\,\,;\,\,BC = 6,92cm\,\,;\,\,\angle C = {55^0}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau.

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$AC = AB.tan\angle B = 6.tan{35^0} \approx 4,2$
$AB = BC.\cos \angle B \Rightarrow 6 = BC.\cos {35^0} \Rightarrow BC \approx 7,32$
Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$\angle B + \angle C = {90^0} \Leftrightarrow {35^0} + \angle C = {90^0}$$ \Leftrightarrow \angle C = {55^0}$

Câu 33

Tính diện tích $\Delta AHM$

A.

${S_{\Delta AHM}} = 2,17\,\,\left( {đvdt} \right)$
B.

${S_{\Delta AHM}} = 3,24\,\,\left( {đvdt} \right)$
C.

${S_{\Delta AHM}} = 2,86\,\,\left( {đvdt} \right)$
D.

${S_{\Delta AHM}} = 3,35\,\,\left( {đvdt} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết :

Vì $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC \Rightarrow M$ là trung điểm $BC$$ \Rightarrow BM = MC = \dfrac{{BC}}{2} \approx 3,66$

Áp dụng hệ thức lượng cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC$$ \Leftrightarrow AH.7,32 = 6.4,2$$ \Leftrightarrow AH \approx 3,44$

$A{B^2} = BH.CB$$ \Leftrightarrow {6^2} = BH.7,32$$ \Leftrightarrow BH \approx 4,92$

Ta có: $BM + MH = BH \Leftrightarrow MH = 4,92 - 3,66 \approx 1,26$

${S_{\Delta AHM}} = \dfrac{1}{2}AH.MH \approx \dfrac{1}{2}.3,44.1,26 \approx 2,17\,\,\,\left( {đvdt} \right)$

Câu 34 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$và đường trung tuyến $AM$. Biết $AH = 3cm;\,HB = 4cm.$ Hãy tính $AB,AC,AM$ và diện tích tam giác $ABC.$

A

$AB = 5cm,\,\,AC = \dfrac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \dfrac{{25}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
B

$AB = 5cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = 4cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{39}}{4}\,\,c{m^2}$
C

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = \dfrac{{14}}{4}cm,\,\,AM = 3cm,$${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$
D

$AB = \dfrac{{14}}{3}cm,\,\,AC = 3cm,\,\,AM = \dfrac{{27}}{8}cm,$${S_{\Delta ABC}} = 9\,\,c{m^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết :

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:
$\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow AB = 5\,\,\,\left( {cm} \right)$.
+) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC với AH là đường cao ta có:
$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{A{H^2}}} - \dfrac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{3^2}}} - \dfrac{1}{{{5^2}}} = \dfrac{{16}}{{225}} \Rightarrow AC = \dfrac{{15}}{4}\left( {cm} \right)$
+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:
$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\dfrac{{15}}{4}} \right)^2} = \dfrac{{625}}{{16}} \Rightarrow BC = \dfrac{{25}}{4}\left( {cm} \right)$.
+) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên ta có: $AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{25}}{8}\,\,\,\left( {cm} \right)$
+) Diện tích tam giác ABC với AH là đường cao ta có: ${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.3.\dfrac{{25}}{4} = \dfrac{{75}}{8}\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.
Vậy $AB = 5cm,\,\,AC = \dfrac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \dfrac{{25}}{8}cm,\,\,{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{75}}{8}\,\,c{m^2}$

Câu 35 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 4cm,\,\,\,AC = 4\sqrt 3 ,\,\,BC = 8cm.$

Tính số đo $\angle B,\,\,\angle C$ và độ dài đường cao $AH$ của $\Delta ABC.$

A

$\angle B = {45^0}\,\,;\,\,\angle C = {45^0}\,\,;\,\,AH = \sqrt 3 $
B

$\angle B = {50^0}\,\,;\,\,\angle C = {40^0}\,\,;\,\,AH = 2$
C

$\angle B = {30^0}\,\,;\,\,\angle C = {60^0}\,\,;\,\,AH = 4$
D

$\angle B = {60^0}\,\,;\,\,\angle C = {30^0}\,\,;\,\,AH = 2\sqrt 3 $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài toán.

Lời giải chi tiết :

+) Chứng minh tam giác $ABC$ vuông.

Ta có: $A{B^2} = {4^2} = 16;\,\,A{C^2} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 48;\,\,B{C^2} = {8^2} = 64.$

$ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 16 + 48 = 64 = B{C^2}$

$ \Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $A$ (định lý Pitago đảo).

+) Tính số đo $\angle B,\,\,\angle C$ và độ dài đường cao $AH$ của $\Delta ABC.$

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}\cos \angle B = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle B = {60^0}\\ \Rightarrow \angle C = {180^0} - \angle B - \angle A = {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0}.\end{array}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại$A$ và có đường cao $AH$ ta có:

$AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{4.4\sqrt 3 }}{8} = 2\sqrt 3 \,\,cm.$

Vậy $\angle B = {60^0},\,\,\,\angle C = {30^0},\,\,\,AH = 2\sqrt 3 \,\,cm.$

Câu 36 :

A

$MN = 12\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$
B

$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$
C

$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 17,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$
D

$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,\,NP = \dfrac{{5\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chứng minh tứ giác $MKHI$ là hình chữ nhật từ đó ta tính được độ dài $AH$ theo định lý Pitago.

Sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông điểm tìm các cạnh đề bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết :

Xét tứ giác $MIHK$ ta có: $\angle M = \angle I = \angle K = {90^0}$

$ \Rightarrow MIHK$ là hình chữ nhật (dhnb).

$ \Rightarrow HI = MK = 6\,cm.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta MHK$ vuông tại $K$ ta có:

$M{H^2} = H{K^2} + M{K^2} = {6^2} + {9^2} = 117 \Rightarrow MH = \sqrt {117} .$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta MHP$ vuông tại $H$ có đường cao $HK$ ta có:

$M{H^2} = MK.MP \Rightarrow MP = \dfrac{{M{H^2}}}{{MK}} $$= \dfrac{{117}}{6} = 19,5\,cm.$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta MHN$ vuông tại $H$ có đường cao $HI$ ta có:

$M{H^2} = MI.MN \Rightarrow MN = \dfrac{{M{H^2}}}{{MI}}$$ = \dfrac{{117}}{9} = 13\,cm.$

Áp dụng định lý Pitago cho $\Delta MNP$ vuông tại $N$ ta có:

$NP = \sqrt {M{N^2} + M{P^2}} = \sqrt {{{13}^2} + 19,{5^2}}$$ = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$

Vậy$MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,NP = \dfrac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.$

Câu 37 :

A

$\dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
B

$\dfrac{{{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$
C

$\dfrac{a}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$
D

$\dfrac{{2{a^2}}}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài ta có: $AB = 2a \Rightarrow OA = OB = a$

Ta có: $\widehat {ONB} = \widehat {AOM} = \alpha $ (cùng phụ với $\widehat {BON}$ )

Xét $\Delta AOM$ có $\widehat A = 90^\circ $
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OA = OM.\cos \alpha \Rightarrow OM = \dfrac{a}{{\cos \alpha }}$
Xét $\Delta BON$ có $\widehat B = 90^\circ $
Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OB = ON.\sin \alpha \Rightarrow ON = \dfrac{a}{{\sin \alpha }}$
Vậy diện tích tam giác $MON$ là: $\dfrac{1}{2}OM.ON = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{{\cos \alpha }}.\dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{{a^2}}}{{2\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Câu 38 :

A
$80cm^2$
B
$90cm^2$
C
$100cm^2$
D
$120cm^2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số diện tích giữa hai tam giác.

Lời giải chi tiết :

Ta kí hiệu: $d(A;BC)$ là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC (nghĩa là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ A đến BC), tương tự với những kí hiệu khác trong bài.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta DFG}} = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\,\,FG} \right).FG\\{S_{\Delta DEB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\,\,FG} \right).BE\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta DFG}}}}{{{S_{\Delta DEB}}}} = \dfrac{{FG}}{{BE}} = \dfrac{1}{6}$ $ \Rightarrow {S_{\Delta DFG}} = \dfrac{1}{6}{S_{\Delta DEB}}.$

$\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta DEB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\,\,BE} \right).BE\\{S_{\Delta BEC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;\,\,BE} \right).BE\end{array} \right.$$ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta DEB}}}}{{{S_{\Delta BEC}}}} = \dfrac{{d\left( {D;\,\,BE} \right)}}{{d\left( {C;\,\,BE} \right)}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}$$ \Rightarrow {S_{\Delta DEB}} = \dfrac{4}{5}{S_{\Delta BEC}}.$

$\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta BEC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\,\,EC} \right).EC\\{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\,\,AC} \right).AC\end{array} \right.$ $ \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta BEC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \dfrac{{EC}}{{AC}} = \dfrac{3}{4}$$ \Rightarrow {S_{\Delta BEC}} = \dfrac{3}{4}{S_{\Delta ABC}}.$

$ \Rightarrow {S_{\Delta DFG}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{4}{5}.\dfrac{3}{4}.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{{10}}.900 = 90\,c{m^2}.$

Câu 39 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C$.

A

$0$
B

$1$
C

$ - 1$
D

$2$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}B = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}}$

$\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}\;\;$

$\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}} $; $ \tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}}$

Vậy $A = {\sin ^2}B + {\sin ^2}C - \tan B.\tan C\;$

$ = \dfrac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} + \dfrac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}} - \dfrac{{AC}}{{AB}}.\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} - 1$

$ = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} - 1 = 0$ (vì theo định lý Pytago thì $A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}$ )

Bài liên quan

Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập hay và khó chương hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 5: Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5: Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Trắc nghiệm Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9

Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết

Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 5 Toán 9

Trắc nghiệm Bài tập hay và khó chương hệ thức lượng trong tam giác vuông Toán 9

Trắc nghiệm Bài 5: Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

Trắc nghiệm Bài 4: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông Toán 9

Trắc nghiệm Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9

Trắc nghiệm Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Toán 9