Sự biến thiên của hàm số

1. Lý thuyết

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng (a;b).

+ Định nghĩa:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu

            $\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu

            $\forall {x_1},{x_2} \in (a;b),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})$

Xét sự biến thiên của hàm số là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.

+ Mô tả sự biến thiên bằng bảng biến thiên

Kết quả xét sự biến thiên được tổng kết trong một bảng biến thiên. Trong đó:

Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.

Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.

+ Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị

Hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số  có dạng “đi lên” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi đồ thị hàm số có dạng “đi xuống” (từ trái sang phải) trên khoảng đó.

+ Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a > 0$, nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nếu $a < 0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chứng minh hàm số $y = 2{x^2}$đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$

Xét hai số bất kì ${x_1},{x_2} \in (0; + \infty )$ sao cho ${x_1} < {x_2}$.

Ta có: $0 < {x_1} < {x_2}$ nên $2{x_1}^2 < 2{x_2}^2$ hay $f({x_1}) < f({x_2})$

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$

Ví dụ 2. Cho bảng biến thiên của hàm số $y = 2{x^2} + 1$

• Dấu mũi tên đi xuống diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty ;0)$
• Dấu mũi tên đi lên diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty )$

Ví dụ 3. Cho đồ thị của hàm số $y = f(x)$

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng (2;5)

Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng (-4;2)