Tính chẵn lẻ của hàm số

1. Lý thuyết

+ Định nghĩa:

Cho hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)

Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) =  - f(x)\)

+ Nhận xét:

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

+ Phương pháp xét tính chẵn, lẻ của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số \(y = f(x)\)

Bước 2: Chứng minh D là tập đối xứng, tức là \(\forall x \in D\) suy ra \( - x \in D\)

Bước 3: Tính \(f( - x)\)

• Nếu \(f( - x) = f(x)\) với mọi \(x \in D\) thì \(y = f(x)\) là hàm số chẵn
• Nếu \(f( - x) =  - f(x)\) với mọi \(x \in D\) thì \(y = f(x)\) là hàm số lẻ
• Nếu có \({x_0} \in D\) sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}f( - x) \ne f(x)\\f( - x) \ne  - f(x)\end{array} \right.\) thì hàm số \(y = f(x)\) không chẵn, không lẻ.

2. Ví dụ minh họa

Hàm số chẵn

\(y = 2\); \(y = a{x^2}\) (với a là hằng số cho trước)

Hàm số lẻ

\(y = {x^3}\); \(y = \frac{1}{x}\)

Hàm số không chẵn, không lẻ

\(y = x + 1\); \(y = 2{x^2} - 5x + 3\)

Đặc biệt: Hàm số \(y = 0\) là hàm vừa chẵn vừa lẻ.

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số

a) \(y = 2022x\)

b) \(y = 3{x^2} + 5\)

c) \(y = \sqrt {1 - x} \)

d) \(y = \;|x - 2|\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f(x) = 2022x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(f( - x) = 2022.( - x) =  - 2022x =  - f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 2022x\) là hàm số lẻ.

b) Hàm số \(f(x) = 3{x^2} + 5\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(f( - x) = 3{( - x)^2} + 5 = 3{x^2} + 5 = f(x)\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = 3{x^2} + 5\) là hàm số chẵn.

c) Hàm số \(y = \sqrt {1 - x} \) có tập xác định \(D = ( - \infty ;1]\).

Với \(x =  - 2 \in D\) thì \( - x = 2 \notin D\)

\( \Rightarrow \) D không là tập đối xứng.

Vậy hàm số không chẵn, không lẻ

d) Hàm số  \(y = \;|x - 2|\)có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R}\) suy ra \( - x \in \mathbb{R}\)

Tại \(x = 1 \in D\) ta có: \(f( - 1) = | - 1 - 2| = 3;f(1) = |1 - 2| = 1; - f(1) =  - 1\)

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f( - 1) \ne f(1)\\f( - 1) \ne  - f(1)\end{array} \right.\)

Vậy hàm số \(y = \;|x - 2|\) không chẵn, không lẻ.