Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn miền nghiệm

1. Lý thuyết

+ Định nghĩa:

Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của tất cả các bất phương trình trong hệ.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ bất phương trình đó.

+ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 1: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ trên cùng mặt phẳng tọa độ. Gạch bỏ miền không là nghiệm.

Bước 2: Phần không bị gạch là miền nghiệm của hệ.

+ Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\)

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\)

Bước 2: Lấy điểm \(A({x_0};{y_0})\) không thuộc \(\Delta \). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) rồi so sánh với c.

Bước 3: Kết luận

Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).

Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).

2. Ví dụ minh họa

+ Nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)

Cặp số \((0;0)\) không là nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y > 10}\\{x - y \le 7}\end{array}} \right.\)

 Điểm \((2;1)\) thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)

Điểm \(( - 1;0)\) không thuộc miền nghiệm của hệ BPT \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\2x - 3y < 10\end{array}\\{x + 2y \le 7}\end{array}} \right.\)

 + Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)

Bước 1:

• Xác định miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\)

Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).

Vì  \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

• Xác định miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\)

Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0; 6).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).

Vì  \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

Bước 2: Kết luận

Miền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.