Giải bài 3 trang 67 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Nghiệm lớn nhất của phương trình lượng giác ${\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}x$ trong đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{4}} \right]$ là

A. $- \frac{\pi }{6}$.

B. $\frac{{5\pi }}{6}$.

C. $\frac{{5\pi }}{{18}}$.

D. $\frac{{17\pi }}{{18}}$.

Lời giải chi tiết

Thay $\sin x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)$

${\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}x$$\Leftrightarrow {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} - x + m2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{2} + x + n2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{m2\pi }}{3}\\x =  - \frac{\pi }{6} + n2\pi \end{array} \right.\left( {m;n \in \mathbb{Z}} \right)$

$x \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{4}} \right] \Rightarrow$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{\pi }{2} \le \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{m2\pi }}{3} \le \frac{{5\pi }}{4}\\ - \frac{\pi }{2} \le  - \frac{\pi }{6} + n2\pi  \le \frac{{5\pi }}{4}\end{array} \right.\left( {m;n \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \frac{7}{6} \le m \le \frac{{35}}{{24}}\\ - \frac{1}{6} \le n \le \frac{{17}}{{24}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1 \Rightarrow x =  - \frac{{7\pi }}{{18}}\\m = 0 \Rightarrow x = \frac{{5\pi }}{{18}}\\m = 1 \Rightarrow x = \frac{{17\pi }}{{18}}\\n = 0 \Rightarrow x =  - \frac{\pi }{6}\end{array} \right.$

Nghiệm lớn nhất của phương trình lượng giác trong đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{4}} \right]$ là $x = \frac{{17\pi }}{{18}}$

Chọn D