Giải bài 6.54 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải các phương trình

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,25 \cdot {128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\)

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) = 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất của lũy thừa, quy tắc tính lôgarit để đưa về cùng cơ số

Biến đổi, quy về cùng cơ số

\({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\).

\({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) > 0\)

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện: \(x \ne 3,x \ne 7\). Khi đó, ta có:

\({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,25 \cdot {128^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{{5^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}}}} = {2^{ - 2}} \cdot {2^{7\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} \Leftrightarrow {2^{\frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x - 7}}}} = {2^{ - 2 + \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x - 3}}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{x - 7}} = - 2 + \frac{{7\left( {x + 17} \right)}}{{x - 3}}\)

\(\; \Leftrightarrow 5\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = - 2\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right) + 7\left( {x + 17} \right)\left( {x - 7} \right) \Leftrightarrow x = 10\)

Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 10\).

b) Điều kiện: \(x > 1\). Khi đó, ta có:

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\).

Giải phương trình trên ta được hai nghiệm \({x_1} = - 1,{x_2} = 2\).

Chỉ có nghiệm \(x = 2\) thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 2\).