Giải bài 6.55 trang 22 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải các bất phương

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3x - 1}} \ge 4 \cdot {2^x}\)

b) \(2{\rm{log}}\left( {x - 1} \right) > {\rm{log}}\left( {3 - x} \right) + 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng tính chất của lũy thừa, quy tắc tính lôgarit để đưa về cùng cơ số

\({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\,{\rm{(khi}}\,a > 1{\rm{)}}\)

\({a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\,{\rm{(khi ) }}0 < \,a < 1{\rm{)}}\)

\({\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right) > 0\,\,(a > 1)\)

\({\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow 0 < f\left( x \right) < g\left( x \right)\,\,(0 < a < 1)\)

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{3x - 1}} \ge 4 \cdot {2^x} \Leftrightarrow {2^{1 - 3x}} \ge {2^{2 + x}} \Leftrightarrow 1 - 3x \ge 2 + x \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{4}\).

b) Điều kiện: \(1 < x < 3\). Khi đó, ta có:

\(2{\rm{log}}\left( {x - 1} \right) > {\rm{log}}\left( {3 - x} \right) + 1 \Leftrightarrow {\rm{log}}{(x - 1)^2} > {\rm{log}}10\left( {3 - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {(x - 1)^2} > 10\left( {3 - x} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 8x - 29 > 0\).

Giải bất phương trình này ta được \(x > - 4 + 3\sqrt 5 \) hoặc \(x < - 4 - 3\sqrt 5 \).

Kết hợp với điều kiện, ta được \( - 4 + 3\sqrt 5 < x < 3\).