Giải bài 7.25 trang 35 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$. Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $AB$.

a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$.

b) Chứng minh rằng $\left( {SMD} \right) \bot \left( {SHC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SH \bot AD$ nên $SH \bot \left( {ABCD} \right)$, suy ra góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng ${\rm{SC}}$ và ${\rm{CH}}$, mà $\left( {{\rm{SC}},{\rm{CH}}} \right) = \widehat {{\rm{SCH}}}$, ta tính được $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},HC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$ và $SC = a\sqrt 2$.

Do đó ${\rm{cos}}\widehat {SHC} = \frac{{HC}}{{SC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4}$.

 

b) Ta có $DM \bot CH,DM \bot SH$ nên $DM \bot \left( {SCH} \right)$. Hơn nữa, mặt phẳng (SDM) chứa đường thẳng $DM$ nên $\left( {SDM} \right) \bot \left( {SCH} \right)$.