Giải bài 7.23 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$.

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện $\left[ {A',BD,C'} \right]$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có: $AO \bot BD,A'O \bot BD$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AO,A'O$ mà $\left( {AO,A'O} \right) = \widehat {AOA'}$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A'BD} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\widehat {AOA'}$.

Ta có: $OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},OA' = \sqrt {O{A^2} + A{A^{{\rm{'}}2}}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Suy ra ${\rm{cos}}\widehat {AOA'} = \frac{{AO}}{{A'O}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

b) Vì $A'O \bot BD,CO' \bot BD$ nên góc nhị diện $\left[ {A',BD} \right.$,$\left. {C'} \right]$ bằng $\widehat {{A^{\rm{'}}}OC'}$.

Ta có $OA' = OC' = \frac{{a\sqrt 6 }}{2},A'C' = a\sqrt 2$ nên ${\rm{cos}}\widehat {A'OC'} = \frac{{O{A^{{\rm{'}}2}} + O{C^2} - A'{C^2}}}{{2 \cdot OA' \cdot OC'}} = \frac{1}{3}$.