Giải bài 7.24 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh a, biết $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$, $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SA = a$. Tính côsin của số đo góc nhị diện $\left[ {S,BD,C} \right]$ và góc nhị diện $\left[ {B,SC,D} \right]$. 

Lời giải chi tiết

Ta có $SO \bot BD,CO \bot BD$ nên góc nhị diện $\left[ {S,BD,C} \right]$ bằng $\widehat {SOC}$.

Vì tam giác $SAO$ vuông tại $A$ nên $SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ và ${\rm{cos}}\widehat {SOC} =  - {\rm{cos}}\widehat {SOA} =  - \frac{{OA}}{{SO}} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

 

Kẻ $BM \bot SC$ tại $M$ thì $DM \bot SC$ nên $\left[ {B,SC,D} \right] = \widehat {BMD}$.

Ta có $BC \bot \left( {SAB} \right)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $B$, tính được $SB = a\sqrt 2$, $SC = a\sqrt 3$ và $DM = BM = \frac{{SB \cdot BC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

 Áp dụng định lí côsin trong tam giác $BDM$, ta có: ${\rm{cos}}\widehat {BMD} = \frac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2 \cdot BM \cdot DM}} =  - \frac{3}{4}$.