Giải bài 7.19 trang 34 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ có độ dài các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, kẻ $AH$ vuông góc với $BM$ tại $H$.

a) Chứng minh rằng $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

b) Tính côsin của góc giữa mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $M$ là trung điểm của $CD$ nên $CD \bot BM$, $CD \bot AM$, do đó $CD \bot \left( {ABM} \right)$, suy ra $CD \bot AH$, ta lại có $AH \bot BM$ nên $AH \bot \left( {BCD} \right)$.

b) Vì $AM \bot CD,BM \bot CD$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AM$ và $BM$, mà $\left( {AM,BM} \right) = \widehat {AMB}$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ bằng $\widehat {AMB}$.

 

Ta có: $HM = \frac{1}{3}BM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}$ và $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$, tam giác $AHM$ vuông tại $H$ nên ${\rm{cos}}\widehat {AMB} = \frac{{HM}}{{AM}} = \frac{1}{3}$.