Giải bài 6.33 trang 19 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải các bát phương trình mũ sau:

Đề bài

Giải các bát phương trình mũ sau:

a) \({2^{2x - 3}} > \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}}\);

c) \({25^x} \le {5^{4x - 3}}\);

d) \({9^x} - {3^x} - 6 \le 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bất phương trình mũ dạng cơ bản có dạng \({a^x} > b\) (hoặc \({a^x} \ge b,{a^x} < b,{a^x} \le b\)) với \(a > 0,a \ne 1.\)

Xét bất phương trình dạng \({a^x} > b\):

Nếu \(b \le 0\) thì tập nghiệm của bất phương trình là \(\mathbb{R}.\)

Nếu \(b > 0\) thì bất phương trình tương đương với \({a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}.\)

+/ Với \(a > 1,\)nghiệm của bất phương trình là \(x > {\log _a}b\).

+/ Với \(0 < a < 1,\)nghiệm của bất phương trình là \(x < {\log _a}b.\)

Chú ý:

Các bất phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.

Nếu \(a > 1\) thì \({a^u} > {a^v} \Leftrightarrow u > v.\)

Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^u} > {a^v} \Leftrightarrow u < v.\)

Giải bất phương trình bằng cách giải bất phương trình bậc hai

Lời giải chi tiết

a) \({2^{2x - 3}} > \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{2x - 3}} > {2^{ - 2}} \Leftrightarrow 2x - 3 > - 2 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\).

b) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^{{x^2}}} \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{5x - 6}} \Leftrightarrow {x^2} \le 5x - 6 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3\).

c) \({25^x} \le {5^{4x - 3}} \Leftrightarrow {5^{2x}} \le {5^{4x - 3}} \Leftrightarrow 2x \le 4x - 3 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\).

d) \({9^x} - {3^x} - 6 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {{3^x}} \right)^2} - {3^x} - 6 \le 0 \Leftrightarrow \)\( - 2 \le {3^x} \le 3 \Leftrightarrow x \le 1.{\rm{\;}}\)