Giải bài 5.8 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$ có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$ bằng cách nối các trung điểm của các cạnh ${B_1}{C_1},{C_1}{A_1},{A_1}{B_1}.$ Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác ${A_3}{B_3}{C_3},...,{A_n}{B_n}{C_n},...$ Kí hiệu ${s_n}$ là diện tích của tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$.

a) Tính ${s_n}$.

b) Tính tổng ${s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ...$

Lời giải chi tiết

a, Theo cách xác định tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$, ta có: ${s_2} = \frac{1}{4}{s_1}.$

Tương tự như vậy, ta có: ${s_3} = \frac{1}{4}{s_2},...,{s_n} = \frac{1}{4}{s_{n - 1}}$

Do đó, ${s_n} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}{s_1} = 3.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$

b, Suy ra: ${s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ... = \frac{3}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4$