Giải bài 5.2 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n - 2} \right);$     

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 1} } \right);$

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 2}  + n} \right);$                     

d) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {3n - \sqrt {4{n^2} + 1} } \right).$

Lời giải chi tiết

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ - 2n - 4}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{ - 2 - \frac{4}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}}  + 1 + \frac{2}{n}}} =  - 1$        

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {2 + {n^2} - \sqrt {{n^4} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{4{n^2} + 3}}{{2 + {n^2} + \sqrt {{n^4} + 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{4 + \frac{3}{{{n^2}}}}}{{\frac{2}{{{n^2}}} + 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{{{n^4}}}} }} = 2$

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 2}  + n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{{{n^2}}}}  + 1} \right) =  + \infty$            

d) $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {3n - \sqrt {4{n^2} + 1} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } n\left( {3 - \sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} } \right) =  + \infty$