Giải bài 20 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$, tam giác $SAB$ đều, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng

A. $\frac{{a\sqrt {30} }}{5}$.

B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$.

C. $\frac{{a\sqrt 6 }}{{10}}$.

D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{5}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $AC \bot BD;AC = a\sqrt 2$;

Gọi $M$  là trung điểm của $AD$ và $HM \cap AC = N$.

Do $\Delta SAB$ là tam giác đều nên $SH \bot AB;SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot AC$ ;

$HM$ là đường trung bình tam giác $ABD \Rightarrow HM//BD \Rightarrow HM \bot AC$

$HN = \frac{1}{2}HM = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}$

Vì $SH \bot AC;HN \bot AC \Rightarrow \left( {SHN} \right) \bot AC$

Kẻ $HK \bot SN$ tại $K$.

Ta chứng minh được $HK \bot SN;AC \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)$ tại $K$.

Suy ra: $d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HK$.

Ta có: $HK = \frac{{HS.HN}}{{\sqrt {H{S^2} + H{N^2}} }}$ $= \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }}$$= \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$.

Chọn C