Giải bài 2 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2{x^3} - {x^2} + 2x + 1$ có đồ thị (C). Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi tiếp tuyến của đồ thị (C) là d và tiếp điểm là $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$.

Hệ số góc của d là:

$f'\left( {{x_0}} \right) = 6x_0^2 - 2{x_0} + 2 = 6\left( {x_0^2 - \frac{1}{3}{x_0} + \frac{1}{3}} \right) = 6\left( {x_0^2 - 2.{x_0}.\frac{1}{6} + \frac{1}{{36}} + \frac{{11}}{{36}}} \right)$$= 6{\left( {{x_0} - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{6}$

Ta có: $6{\left( {{x_0} - \frac{1}{6}} \right)^2} + \frac{{11}}{6} \ge \frac{{11}}{6}$ nên $f'\left( {{x_0}} \right) \ge \frac{{11}}{6}$

Nên hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị với (C) nhỏ nhất bằng $\frac{{11}}{6}$ khi ${x_0} - \frac{1}{6} = 0 \Leftrightarrow {x_0} = \frac{1}{6}$.

Với ${x_0} = \frac{1}{6}$ thì $f\left( {\frac{1}{6}} \right) = 2.{\left( {\frac{1}{6}} \right)^3} - {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} + 2.\frac{1}{6} + 1 = \frac{{71}}{{54}}$

Do đó, tiếp tuyến d cần tìm là: $y = f'\left( {\frac{1}{6}} \right)\left( {x - \frac{1}{6}} \right) + f\left( {\frac{1}{6}} \right) = \frac{{11}}{6}\left( {x - \frac{1}{6}} \right) + \frac{{71}}{{54}} = \frac{{11}}{6}x + \frac{{109}}{{108}}$

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: $y = \frac{{11}}{6}x + \frac{{109}}{{108}}$