Giải bài 5 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x\sin x}}{{1 - \tan x}}$;

b) $y = \cos \sqrt {{x^2} - x + 1}$;

c) $y = {\sin ^2}3x$;

d) $y = {\cos ^2}\left( {\cos 3x} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) $y'$ $= {\left( {\frac{{x\sin x}}{{1 - \tan x}}} \right)'}$ $= \frac{{\left( {x\sin x} \right)'\left( {1 - \tan x} \right) - \left( {x\sin x} \right)\left( {1 - \tan x} \right)'}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\left( {\sin x + x\cos x} \right)\left( {1 - \tan x} \right) + \left( {x\sin x} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x - x\sin x + \frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$ $= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x - x\sin x\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x + x\sin x{{\tan }^2}x}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

b) $y'$ $= {\left( {\cos \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)'}$ $= - \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)'\sin \sqrt {{x^2} - x + 1}$ $= - \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\sin \sqrt {{x^2} - x + 1}$

$= - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\sin \sqrt {{x^2} - x + 1}$

c) $y'$ $= {\left( {{{\sin }^2}3x} \right)'}$ $= 2\sin 3x\left( {\sin 3x} \right)'$ $= 6\sin 3x\cos 3x$ $= 3\sin 6x$

d) $y'$ $= {\left[ {{{\cos }^2}\left( {\cos 3x} \right)} \right]'}$ $= 2\cos \left( {\cos 3x} \right)\left[ {\cos \left( {\cos 3x} \right)} \right]'$$= - 2\cos \left( {\cos 3x} \right)\sin \left( {\cos 3x} \right)\left( {\cos 3x} \right)'$ $= 6\cos \left( {\cos 3x} \right)\sin \left( {\cos 3x} \right)\sin 3x$

$= 3\sin \left( {2\cos 3x} \right)\sin 3x$