Giải bài 4 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt x \left( {{x^2} - \sqrt x + 1} \right)\);

b) \(y = \frac{1}{{{x^2} - 3x + 1}}\);

c) \(y = \frac{{2x + 3}}{{3x + 2}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các quy tắc tính đạo hàm để tính:

a) \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v',\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right),c' = 0\) với c là hằng số.

b, c) \({\left( {\frac{u}{v}} \right)'} = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)\) , \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(y \) \( = \sqrt x \left( {{x^2} - \sqrt x + 1} \right) \) \( = {x^{\frac{5}{2}}} - x + \sqrt x \) nên \(y' \) \( = {\left( {{x^{\frac{5}{2}}} - x + \sqrt x } \right)'} \) \( = \frac{5}{2}{x^{\frac{3}{2}}} - 1 + \frac{1}{{2\sqrt x }} \) \( = \frac{5}{2}x\sqrt x - 1 + \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

b) \(y' \) \( = {\left( {\frac{1}{{{x^2} - 3x + 1}}} \right)'} \) \( = \frac{{1'\left( {{x^2} - 3x + 1} \right) - 1.\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{ - 2x + 3}}{{{{\left( {{x^2} - 3x + 1} \right)}^2}}}\)

c) \(y' \) \( = {\left( {\frac{{2x + 3}}{{3x + 2}}} \right)'} \) \( = \frac{{\left( {2x + 3} \right)'\left( {3x + 2} \right) - \left( {2x + 3} \right)\left( {3x + 2} \right)'}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{2\left( {3x + 2} \right) - 3\left( {2x + 3} \right)}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\) \( = \frac{{6x + 4 - 6x - 9}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}} \) \( = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {3x + 2} \right)}^2}}}\)