SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Giải bài 6 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Tính đạo hàm của các hàm số sau biết f và g là các hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\):

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau biết f và g là các hàm số có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\):

a) \(y = f\left( {{x^3}} \right)\);

b) \(y = \sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số \(u = g\left( x \right)\) có đạo hàm tại x là \(u_x'\) và hàm số \(y = f\left( u \right)\) có đạo hàm tại u là \(y_u'\) thì hàm hợp \(y = f\left( {g\left( x \right)} \right)\) có đạo hàm tại x là \(y_x' = y_u'.u_x'\).

Lời giải chi tiết

a) \(y' \) \( = {\left[ {f\left( {{x^3}} \right)} \right]'} \) \( = \left( {{x^3}} \right)'.f'\left( {{x^3}} \right) \) \( = 3{x^2}.f'\left( {{x^3}} \right)\);

b) \(y' \) \( = {\left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} } \right)'} \) \( = \frac{{{{\left( {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} \right)}'}}}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }} \) \( = \frac{{2f\left( x \right)f'\left( x \right) + 2g\left( x \right).g'\left( x \right)}}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}\)

\( \) \( = \frac{{2\left[ {f\left( x \right)f'\left( x \right) + g\left( x \right).g'\left( x \right)} \right]}}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }} \) \( = \frac{{f\left( x \right)f'\left( x \right) + g\left( x \right).g'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}\)