Giải bài 8 trang 45 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x + 8}$. Giải phương trình $f'\left( x \right) =  - \frac{2}{3}$.

Lời giải chi tiết

$f'\left( x \right)$ $= {\left( {\sqrt {{x^2} - 2x + 8} } \right)'}$ $= \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 8} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }}$ $= \frac{{2x - 2}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }}$ $= \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }}$

$f'\left( x \right) = - \frac{2}{3}$ thì $\frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }} = - \frac{2}{3}$ $\Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }} + \frac{2}{3} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{3\left( {x - 1} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }}{{3\sqrt {{x^2} - 2x + 8} }} = 0$ $\Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) + 2\sqrt {{x^2} - 2x + 8} = 0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 8} = - 3\left( {x - 1} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\4\left( {{x^2} - 2x + 8} \right) = 9{\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\4{x^2} - 8x + 32 = 9{x^2} - 18x + 9\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\5{x^2} - 10x - 23 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + 2\sqrt {35} }}{5}\\x = \frac{{5 - 2\sqrt {35} }}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = \frac{{5 - 2\sqrt {35} }}{5}$

Vậy $x = \frac{{5 - 2\sqrt {35} }}{5}$