Giải bài 1.56 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

Đề bài

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) \(A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\);

b) \(B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);

c) \(C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);

d) \(D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức góc liên quan, công thức biến tích thành tổng, công thức góc nhân đôi, công thức lượng giác cơ bản để biến đổi linh hoạt.

\(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\)

\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right)\)

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\)

\(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}}\,;\,\,\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}}\); \(\tan a.\cot a = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}A = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = 0\end{array}\)

b) Ta có

\(\begin{array}{l}B = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = 0\end{array}\)

c) Ta có

\(\begin{array}{l}C = {\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x + \frac{\pi }{3} + x} \right) + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x - \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)} \right)} \right]\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos ( - 2x)} \right] = {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{2} + \cos 2x} \right)\\\,\,\,\,\, = {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) = \frac{1}{4}\end{array}\)

d) Ta có

\(\begin{array}{l}D = \frac{{1 - \cos 2x + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{1 - (1 - 2{{\sin }^2}x) + 2\sin x\cos x}}{{1 + 2{{\cos }^2}x - 1 + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}.\cot x\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2\sin x(\sin x + \cos x)}}{{2\cos x(\cos x + \sin x)}}.\cot x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}.\cot x = \tan x.\cot x = 1\end{array}\)