Giải bài 1.57 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

\({f_1}\left( t \right) = C\sin \omega t\) và \({f_2}\left( t \right) = C\sin \left( {\omega t + \alpha } \right)\).

Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra một âm kết hợp có phương trình

\(f(t) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right) = C\sin \omega t + C\sin \left( {\omega t + \alpha } \right)\).

a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm số f (t) có thể viết được dưới dạng \(f(t) = {\rm{A}}\sin \omega t + {\rm{B}}\cos \omega t\), ở đó A, B là hai hằng số phụ thuộc vào \(\alpha \).

b) Khi \(C = 10\) và \(\alpha  = \frac{\pi }{3}\), hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số \(k\) và \(\varphi \) sao cho \(f(t) = k\sin \left( {\omega t + \varphi } \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\begin{array}{l}f(t) = {f_1}\left( t \right) + {f_2}\left( t \right)\\ = C\sin \omega t + C\sin \left( {\omega t + \alpha } \right) = C\left( {\sin \omega t + \sin \left( {\omega t + \alpha } \right)} \right)\\ = C\left( {\sin \omega t + \sin \omega t.\cos \alpha  + \cos \omega t.\sin \alpha } \right)\\ = C\sin \omega t(1 + \cos \alpha ) + C.\sin \alpha .\cos \omega t\\ = A\sin \omega t + B\cos \omega t\end{array}\)

Vậy \(f(t) = A\sin \omega t + B\cos \omega t\) với \(A = C(1 + \cos \alpha )\); \(B = C\sin \alpha \).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}f(t) = C\sin \omega t + C\sin \left( {\omega t + \alpha } \right) = C\left( {2\sin \frac{{\omega t + \omega t + \alpha }}{2}\cos \frac{{\omega t - \left( {\omega t + \alpha } \right)}}{2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = C.2\sin \frac{{2\omega t + \alpha }}{2}\cos \frac{\alpha }{2} = 2C\sin \left( {\omega t + \frac{\alpha }{2}} \right).\cos \frac{\alpha }{2}\end{array}\)

Khi \(C = 10\) và \(\alpha  = \frac{\pi }{3}\), ta có

\(f(t) = 2.10.\sin \left( {\omega t + \frac{{\frac{{2\pi }}{3}}}{2}} \right).\cos \frac{{\frac{{2\pi }}{3}}}{2} = 20\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \frac{\pi }{3} = 10\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{3}} \right)\)

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là k =10 và \(\varphi  = \frac{\pi }{3}\).