Giải bài 1.60 trang 29 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

Đề bài

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = {\sin ^3}x - \cot x;\)

b) \(y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\);

c) \(y = \sin 2x + \cos x\);

d) \(y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số, xét xem với mọi \(x \in D\), \( - x \in D\) hay không.

Bước 2: Xét \(f( - x)\)

+) Nếu \(f( - x) = f(x)\) thì đó là hàm số chẵn.

+) Nếu \(f( - x) = - f(x)\) thì đó là hàm số lẻ.

+) Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên thì đó là hàm số không chẵn không lẻ.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f(x) = {\sin ^3}x - \cot x;\) có tập xác định D

\(\forall x \in D\) ta có\(f( - x) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) - \cot \left( { - x} \right) = - {\sin ^3}x - ( - \cot x) = - ({\sin ^3}x - \cot x) = - f(x)\)

Vậy hàm số đó là hàm số lẻ.

b) Hàm số \(y = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}}\) có tập xác định D

\(\forall x \in D\) ta có\(f( - x) = {\sin ^3}\left( { - x} \right) - \cot \left( { - x} \right) = \frac{{\cos \,( - x) + {{\tan }^2}( - x)}}{{\cos \,( - x)}} = \frac{{\cos x + {{\tan }^2}x}}{{\cos x}} = f(x)\).

Vậy hàm số đó là hàm số chẵn.

c) Hàm số \(y = \sin 2x + \cos x\) có tập xác định D\( = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in D\) ta có

\(\begin{array}{l}f( - x) = \sin \left( { - 2x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = - \sin 2x + \cos x \ne f(x)\\f( - x) \ne - f(x)\end{array}\)

Vậy hàm số đó là hàm số không chẵn không lẻ.

d) Hàm số \(f(x) = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)\)có tập xác định D\( = \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l}y = 2\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x + \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right) - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{4} + x - \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \sin \pi - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) = \sin \left( {\pi - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos 2x\end{array}\)

\(\forall x \in D\) ta có\(f( - x) = \cos \left( { - 2x} \right) = \cos 2x = f(x)\)

Vậy hàm số đó là hàm số chẵn.