Trắc nghiệm Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu Toán 8 Kết nối tri thứcĐề bài
Câu 1 :
Chọn câu đúng?
Câu 2 :
Khai triển \({x^2} - {y^2}\) ta được
Câu 3 :
Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
Câu 4 :
Biểu thức \(4{x^2} - 4x + 1\) được viết dưới dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu là
Câu 5 :
Viết biểu thức \(25{x^2} + 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một tổng.
Câu 6 :
Cho biết \({99^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) với \(a,\,b \in \mathbb{R}\) . Khi đó
Câu 7 :
Điền vào chỗ chấm trong khai triển hằng đẳng thức sau: \({\left( {... + 1} \right)^2} = \frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) .
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Câu 9 :
Viết \({101^2} - {99^2}\) dưới dạng tích hoặc bình phương của một tổng (hiệu).
Câu 10 :
Tìm \(x\) biết \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9\)
Câu 11 :
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\) .
Câu 12 :
So sánh \(P = 2015.2017.a\) và \(Q = {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\) .
Câu 13 :
Cho biết \({\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right) = ax + b\) . Khi đó
Câu 14 :
Cho \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}; N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(M, N\) ?
Câu 15 :
Cho biểu thức \(T = {x^2} + 20x + 101\) . Khi đó
Câu 16 :
Cho biểu thức \(\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\) . Giá trị của biểu thức \(\;N\) khi \(\;x = 1001\) là
Câu 17 :
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\;Q = 8-8x-{x^2}\) là
Câu 18 :
Biết giá trị \(x = a \left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn biểu thức \(\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0\) , bội của \(a\) là
Câu 19 :
Cho cặp số \(\left( {x;y} \right)\) để biểu thức \({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5\) có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(x + 2y\) bằng
Câu 20 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right)\) đạt tại \(x = b\) . Khi đó, căn bậc hai số học của \(b\) là
Câu 21 :
Cho biểu thức \(M = {79^2} + {77^2} + {75^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {78^2} + {76^2} + {74^2} + ... + {4^2} + {2^2}\) . Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{M - N}}{2}\) .
Câu 22 :
Cho đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) . Khi đó
Câu 23 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn câu đúng?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Học thuộc hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết :
\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Câu 2 :
Khai triển \({x^2} - {y^2}\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Học thuộc hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \({x^2} - {y^2}\) \( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)
Lời giải chi tiết :
\({x^2} - {y^2}\) \( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)
Câu 3 :
Đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Nhớ khái niệm hằng đẳng thức: Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.
Lời giải chi tiết :
Loại đáp án B, C, D vì khi ta thay \(x = 2\) thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.
Câu 4 :
Biểu thức \(4{x^2} - 4x + 1\) được viết dưới dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết :
\(4{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.1 + {1^2} = {\left( {2x - 1} \right)^2}\)
Câu 5 :
Viết biểu thức \(25{x^2} + 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một tổng.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết :
\(25{x^2} + 20xy + 4{y^2} = {\left( {5x} \right)^2} + 2.5x.2y + {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {5x + 2y} \right)^2}\)
Câu 6 :
Cho biết \({99^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) với \(a,\,b \in \mathbb{R}\) . Khi đó
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết :
\({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {100 - 1} \right)^2} = {99^2}\) suy ra \(a = 100,\,b = 1\)
Câu 7 :
Điền vào chỗ chấm trong khai triển hằng đẳng thức sau: \({\left( {... + 1} \right)^2} = \frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Lời giải chi tiết :
\(\frac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\frac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\frac{1}{2}xy.1 + {1^2} = {\left( {\frac{1}{2}xy + 1} \right)^2} \Rightarrow ... = \frac{1}{2}xy\)
Câu 8 :
Rút gọn biểu thức \(P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đơn thức với đa thức.
Lời giải chi tiết :
\(P = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right) \\= 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \\= - 15x + 1\)
Câu 9 :
Viết \({101^2} - {99^2}\) dưới dạng tích hoặc bình phương của một tổng (hiệu).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \({x^2} - {y^2}\) \( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)
Lời giải chi tiết :
\({101^2} - {99^2} = \left( {101 - 99} \right)\left( {101 + 99} \right)\)
Câu 10 :
Tìm \(x\) biết \(\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9\)
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng hai hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}; \\{A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) đưa về dạng tìm \(x\) đã biết (chú ý đằng trước ngoặc đơn có dấu trừ, khi phá ngoặc phải đổi dấu toàn bộ các hạng tử trong ngoặc). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\begin{array}{l}\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9 \\{x^2} - {6^2} - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9\\ {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 = 9\\ - 6x = 9 + 9 + 36 \\ - 6x = 54\\ x = - 9\end{array}\)
Câu 11 :
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {3x - 4} \right)^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Áp dụng hằng đẳng thức: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) đưa về dạng tìm \(x\) đã biết.
Lời giải chi tiết :
Ta có Suy ra x - 3 = 0 hoặc 5x - 5 = 0 Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn.
Câu 12 :
So sánh \(P = 2015.2017.a\) và \(Q = {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức \(P\) để sử dụng hằng đẳng thức: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) rồi so sánh (chú ý điều kiện \(a > 0\) ).
Lời giải chi tiết :
Ta có \(P = 2015.2017.a = \left( {2016 - 1} \right).\left( {2016 + 1} \right).a = \left( {{{2016}^2} - 1} \right).a\)
Vì \({2016^2} - 1 < {2016^2} \Rightarrow \left( {{{2016}^2} - 1} \right).a < {2016^2}.a \left( {a > 0} \right)\) \( \Rightarrow 2015.2017.a < {2016^2}.a\) hay \(P < Q\)
Câu 13 :
Cho biết \({\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right) = ax + b\) . Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng các hằng đẳng thức: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) ,\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) ,\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để rút gọn 2 biểu thức đã cho.
Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\begin{array}{l} {\left( {3x-1} \right)^2}\; + 2{\left( {x + 3} \right)^2}\; + 11\left( {1 + x} \right)\left( {1-x} \right)\\\begin{array}{*{20}{l}}{ = {{\left( {3x} \right)}^2}\;-2.3x.1 + {1^2}\; + 2\left( {{x^2}\; + 6x + 9} \right) + 11\left( {1-{x^2}} \right)}\\{ = 9{x^2}\;-6x + 1 + 2{x^2}\; + 12x + 18 + 11-11{x^2}\;}\\\begin{array}{l} = \left( {9{x^2}\; + 2{x^2}\;-11{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 12x} \right){{ + }}\left( {1 + 18 + 11} \right)\\ = 6x + 30\end{array}\end{array}\end{array}\) \( \Rightarrow a = 6; b = 30\)
Câu 14 :
Cho \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}; N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(M, N\) ?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hai hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để rút gọn biểu thức \(M,N\) .
Lời giải chi tiết :
Ta có \(M = \frac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{2{x^2} + 50}}{{{x^2} + 25}} = \frac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\)
\(N = \frac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{4{x^2} + 20x + 25 + 25{x^2} - 20x + 4}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\) Ta thấy: \(29 = 14.2 + 1 \Rightarrow N = 14M + 1\)
Câu 15 :
Cho biểu thức \(T = {x^2} + 20x + 101\) . Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức \(T\) để sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) rồi đánh giá biểu thức\(T = {\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m \left( {{{\left( {A + B} \right)}^2} \ge 0} \right)\) .
Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\begin{array}{l}T = {x^2} + 20x + 101 = \left( {{x^2} + 2.10x + 100} \right) + 1 = {\left( {x + 10} \right)^2} + 1 \ge 1 \left( {{{\left( {x + 10} \right)}^2} \ge 0, \forall x} \right)\\ \Rightarrow T \ge 1\end{array}\)
Câu 16 :
Cho biểu thức \(\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\) . Giá trị của biểu thức \(\;N\) khi \(\;x = 1001\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hai hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) ,\({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đơn thức với đa thức rồi thu gọn đa thức.
Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\begin{array}{l}\;N = 2{\left( {x-1} \right)^2}\;-4{\left( {3 + x} \right)^2}\; + 2x\left( {x + 14} \right)\\ \begin{array}{*{20}{l}}{ = 2\left( {{x^2}\;-2x + 1} \right)-4\left( {9 + 6x + {x^2}} \right) + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = 2{x^2}\;-4x + 2-36-24x-4{x^2}\; + 2{x^2}\; + 28x}\\{ = \left( {2{x^2}\; + 2{x^2}\;-4{x^2}} \right) + \left( { - 4x-24x + 28x} \right) + 2-36}\\{ = - 34}\end{array}\end{array}\)
Câu 17 :
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\;Q = 8-8x-{x^2}\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) đưa biểu thức\(Q\) về dạng \(m - {\left( {A + B} \right)^2}\) rồi đánh giá: \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m \left( { - {{\left( {A + B} \right)}^2} \le 0} \right)\) (chú ý đổi dấu để được hằng đẳng thức cần dùng).
Dấu = xảy ra khi \(A + B = 0\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(\;Q = 8-8x-{x^2} = -{x^2}-8x - 16 + 16 + 8 = - \left( {{x^2} + 8x + 16} \right) + 24 = - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24\) Vì \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi giá trị x nên \( - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0 \) với mọi giá trị x . Do đó \(- {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \le 24\) với mọi x Dấu = xảy ra khi \(x + 4 = 0\) hay \( x = - 4\) . Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Q là 24 khi \(x = - 4\) .
Câu 18 :
Biết giá trị \(x = a \left( {a > 0} \right)\) thỏa mãn biểu thức \(\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0\) , bội của \(a\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hằng đẳng thức: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\) đưa về bài toán tìm \(x\) (chú ý điều kiện \(a > 0\) )
Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\begin{array}{l}\;{\left( {2x + 1} \right)^2}\;-{\left( {x + {{ 5}}} \right)^2}\; = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right]\left[ {\left( {2x + 1} \right) + \left( {x + {{ 5}}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1 - x - 5} \right)\left( {2x + 1 + x + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {3x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\3x + 6 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\3x = - 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow a = 4\) . Vậy bội của 4 là \(24\) .
Câu 19 :
Cho cặp số \(\left( {x;y} \right)\) để biểu thức \({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5\) có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \(x + 2y\) bằng
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức về dạng: \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá: \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m\)
Dấu = xảy ra khi \({\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D\) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(m\) . Lời giải chi tiết :
Ta có
\({{P }} = {x^2}-8x + {y^2} + 2y + 5 = \left( {{x^2}-8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) - 12 = {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12\) Vì \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\forall x;{\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\forall y \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 12 \ge - 12\forall x,y\) Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 1\end{array} \right.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \( - 12\) khi \(x = 4;y = - 1 \Rightarrow x + 2y = 4 + 2.\left( { - 1} \right) = 2\)
Câu 20 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right)\) đạt tại \(x = b\) . Khi đó, căn bậc hai số học của \(b\) là
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng hai hằng đẳng thức: \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) đưa biểu thức \(Q\) về dạng \(m{x^2} + n\) rồi đánh giá: \(m{x^2} + n \ge m\left( {m{x^2} \ge 0\forall x} \right)\) (chú ý đổi dấu để được hằng đẳng thức cần dùng).
Dấu = xảy ra khi \(x = 0\) . Nhớ lại căn bậc hai số học của một số không âm \(a\) có dạng \(\sqrt a \) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} + {\left( {3x + 1} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} + 7} \right) \) \(= 9{x^2} - 6x + 1 + 9{x^2} + 6x + 1 + 18{x^2} + 14 \) \(= 36{x^2} + 16 \ge 16\) (vì \(( {x^2} \ge 0 \) suy ra \(36{x^2} \ge 0 \)) Dấu "=" xảy ra khi \(x = 0\), suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là \(16\) khi \(x = 0 \) hay \( b = 0\) . Căn bậc hai số học của 0 là 0.
Câu 21 :
Cho biểu thức \(M = {79^2} + {77^2} + {75^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {78^2} + {76^2} + {74^2} + ... + {4^2} + {2^2}\) . Tính giá trị của biểu thức \(\frac{{M - N}}{2}\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Xét hiệu \(M - N\) rồi sử dụng hằng đẳng thức: \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) .
Áp dụng công thức tính tổng n số tự nhiên liên tiếp \(1,2,3,...,n\) là \(\frac{{1 + n}}{2}.n\) Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\begin{array}{l}M - N = \left( {{{79}^2} + {{77}^2} + {{75}^2} + ... + {3^2} + {1^2}} \right) - \left( {{{78}^2} + {{76}^2} + {{74}^2} + ... + {2^2}} \right)\\ = \left( {{{79}^2} - {{78}^2}} \right) + \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\\ = \left( {79 - 78} \right)\left( {79 + 78} \right) + \left( {77 - 76} \right)\left( {77 + 76} \right) + \left( {75 - 74} \right)\left( {75 + 74} \right) + ... + \left( {3 - 2} \right)\left( {3 + 2} \right) + 1\\ = 79 + 78 + 77 + 76 + 75 + 74 + ... + 3 + 2 + 1\\ = \frac{{79 + 1}}{2}.79 = 3160\\ \Rightarrow \frac{{M - N}}{2} = \frac{{3160}}{2} = 1580\end{array}\)
Câu 22 :
Cho đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\) . Khi đó
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biến đổi đẳng thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
\({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2BC + 2CA;{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) . Sử dụng \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ge 0\forall A,B,C\) . Dấu = xảy ra khi \(A = B = C = 0\) Lời giải chi tiết :
Ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ca + {c^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array}\) Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0,{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\forall a,b,c\) Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\) .
Câu 23 :
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi biểu thức về dạng: \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá: \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m\)
Dấu = xảy ra khi \({\left( {A + B} \right)^2} = 0;{\left( {C + D} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow A = - B;C = - D\) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(m\) . Lời giải chi tiết :
Ta có \(\begin{array}{l}T = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\\ = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\\ = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\end{array}\) Ta thấy \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = \left( {{x^2} + 4x + 4 + 1} \right) = {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 1 + 4\\ \Rightarrow T \ge 5\end{array}\) Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\\x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\) Vậy giá trị nhỏ nhất của T là \(5\) khi \(x = - 2\)
|
