Giải bài 9.2 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = x{\left( {2x - 1} \right)^2}$. Tính $f'\left( 0 \right)$ và $f'\left( 1 \right)$.

Lời giải chi tiết

 $f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{{(2x - 1)}^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{(2x - 1)}^2}} \right] = {( - 1)^2} = 1$

Để tính $f'\left( 1 \right)$, ta phân tích:

$\begin{array}{*{20}{r}}{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}&{\; = x{{(2x - 1)}^2} - 1 = \left( {x - 1} \right){{(2x - 1)}^2} + {{(2x - 1)}^2} - 1}\\{}&{}\end{array}$

$= \left( {x - 1} \right){(2x - 1)^2} + 4x\left( {x - 1} \right).$

Khi đó, $f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4x} \right] = 5$