Giải bài 5 trang 27 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số $y = \tan x$ với $x \in \left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x \in \left[ { - \frac{{7\pi }}{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ sao cho $\sqrt 3 \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0$.

c) Tìm các giá trị của $x \in \left[ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right]$ sao cho $\tan \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) \ge  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có đồ thị của hàm số $y = \tan x$ với $x \in \left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$:

b) $\sqrt 3 \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0$ khi $\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}$

Đặt $x + \frac{\pi }{4} = t$. Vì $\frac{{ - 7\pi }}{4} \le x \le \frac{\pi }{4} \Rightarrow \frac{{ - 3\pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$

Hàm số $y = \tan t$ xác định khi $t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$. Kết hợp với điều kiện $\frac{{ - 3\pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$ ta có $t \in \left( {\frac{{ - 3\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Đồ thị hàm số $y = \tan t$ với $t \in \left( {\frac{{ - 3\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ là:

Từ đồ thị hàm số trên ta có:

$\tan t = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}$ khi và chỉ khi $t = \frac{{ - 7\pi }}{6}$ hoặc $t = \frac{{ - \pi }}{6}$.

Suy ra: $x + \frac{\pi }{4} = \frac{{ - 7\pi }}{6}$ hoặc $x + \frac{\pi }{4} = \frac{{ - \pi }}{6}$. Do đó, $x = \frac{{ - 17\pi }}{{12}}$ hoặc $x = \frac{{ - 5\pi }}{{12}}$.

c) Đặt $2x + \frac{\pi }{6} = t$. Vì $\frac{{ - 5\pi }}{6} \le x \le \frac{\pi }{6} \Rightarrow \frac{{ - 3\pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$

Hàm số $y = \tan t$ xác định khi $t \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$. Kết hợp với điều kiện $\frac{{ - 3\pi }}{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$ ta có $t \in \left( {\frac{{ - 3\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

Đồ thị hàm số $y = \tan t$ với $t \in \left( {\frac{{ - 3\pi }}{2};\frac{{ - \pi }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ là:

Từ đồ thị hàm số trên ta có:

$\tan t \ge \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}$ khi và chỉ khi $\frac{{ - 7\pi }}{6} \le t <  - \frac{\pi }{2}$ hoặc $\frac{{ - \pi }}{6} \le t < \frac{\pi }{2}$.

Suy ra, $\frac{{ - 7\pi }}{6} \le 2x + \frac{\pi }{6} <  - \frac{\pi }{2}$ hoặc $\frac{{ - \pi }}{6} \le 2x + \frac{\pi }{6} < \frac{\pi }{2}$

Do đó, $\frac{{ - 2\pi }}{3} \le x <  - \frac{\pi }{3}$ hoặc $- \frac{\pi }{6} \le x < \frac{\pi }{6}$.