Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sốngGiả sử ({u_n}) là số hạng thứ (n) của dãy số (left( {{u_n}} right)) và ({u_n} = frac{{{{left( {1 + sqrt 5 } right)}^n} - {{left( {1 - sqrt 5 } right)}^n}}}{{{2^n}sqrt 5 }}). Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh Đề bài Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un) và un=(1+√5)n−(1−√5)n2n√5. a) Chứng tỏ rằng u1=1,u2=1 và un+2=un+1+un với mọi n∈N∗. Từ đó suy ra (un) là dãy số Fibonacci. b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số un+1un đầu tiên. Tinh limn→+∞un+1un Phương pháp giải - Xem chi tiết a) Ta có u1=1,u2=1 và un+2=(1+√5)n+2−(1−√5)n+22n+2√5 Áp dụng hằng đẳng thức an+2−bn+2=(an+1−bn+1)(a+b)−ab(an−bn) Ta có un+2=(1+√5)n+2−(1−√5)n+22n+2√5 =[(1+√5)n+1−(1−√5)n+1][1+√5+1−√5]−(1+√5)(1−√5)[(1+√5)n−(1−√5)n]2n+2√5 =[(1+√5)n+1−(1−√5)n+1]⋅2+4⋅[(1+√5)n−(1−√5)n]2n+2√5 =(1+√5)n+1−(1−√5)n+12n+1√5+(1+√5)n−(1−√5)n2n√5=un+1+un. Vậy (un) là dãy số Fibonacci. b) Lập bảng
Thay =limn→+∞12⋅(1+√5)n+1−(1−√5)n+1(1+√5)n−(1−√5)n=limn→+∞12⋅1+√5−(1−√5)(1−√51+√5)n1−(1−√51+√5)n=1+√52. Tính limn→+∞un+1un. Lời giải chi tiết . a) Ta có u1=1,u2=1 và un+2=(1+√5)n+2−(1−√5)n+22n+2√5 =[(1+√5)n+1−(1−√5)n+1][1+√5+1−√5]−(1+√5)(1−√5)[(1+√5)n−(1−√5)n]2n+2√5 =[(1+√5)n+1−(1−√5)n+1]⋅2+4⋅[(1+√5)n−(1−√5)n]2n+2√5 =(1+√5)n+1−(1−√5)n+12n+1√5+(1+√5)n−(1−√5)n2n√5=un+1+un. Vậy (un) là dãy số Fibonacci. b)
Ta có: limn→+∞un+1un=limn→+∞(1+√5)n+1−(1−√5)n+12n+1√5:(1+√5)n−(1−√5)n2n√5 =limn→+∞12⋅(1+√5)n+1−(1−√5)n+1(1+√5)n−(1−√5)n=limn→+∞12⋅1+√5−(1−√5)(1−√51+√5)n1−(1−√51+√5)n=1+√52 (do |1−√51+√5|<1 nên limn→+∞(1−√51+√5)n=0 ).
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
|