Giải bài 29 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giả sử ({u_n}) là số hạng thứ (n) của dãy số (left( {{u_n}} right)) và ({u_n} = frac{{{{left( {1 + sqrt 5 } right)}^n} - {{left( {1 - sqrt 5 } right)}^n}}}{{{2^n}sqrt 5 }}).

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)un=(1+5)n(15)n2n5.

a) Chứng tỏ rằng u1=1,u2=1un+2=un+1+un với mọi nN.

Từ đó suy ra (un) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số un+1un đầu tiên.

Tinh limn+un+1un

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Ta có u1=1,u2=1un+2=(1+5)n+2(15)n+22n+25

Áp dụng hằng đẳng thức an+2bn+2=(an+1bn+1)(a+b)ab(anbn)

Ta có un+2=(1+5)n+2(15)n+22n+25

=[(1+5)n+1(15)n+1][1+5+15](1+5)(15)[(1+5)n(15)n]2n+25

=[(1+5)n+1(15)n+1]2+4[(1+5)n(15)n]2n+25

=(1+5)n+1(15)n+12n+15+(1+5)n(15)n2n5=un+1+un.

Vậy (un) là dãy số Fibonacci.

b) Lập bảng

 n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 un+1un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Thay =limn+12(1+5)n+1(15)n+1(1+5)n(15)n=limn+121+5(15)(151+5)n1(151+5)n=1+52.

Tính limn+un+1un.

Lời giải chi tiết

. a) Ta có u1=1,u2=1un+2=(1+5)n+2(15)n+22n+25

=[(1+5)n+1(15)n+1][1+5+15](1+5)(15)[(1+5)n(15)n]2n+25

=[(1+5)n+1(15)n+1]2+4[(1+5)n(15)n]2n+25

=(1+5)n+1(15)n+12n+15+(1+5)n(15)n2n5=un+1+un.

Vậy (un) là dãy số Fibonacci.

b)

 n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

 un

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

 un+1un

1

2

1,5

 53

 85

 138

 2113

 3421

 5534

 8955

14489

Ta có: limn+un+1un=limn+(1+5)n+1(15)n+12n+15:(1+5)n(15)n2n5

=limn+12(1+5)n+1(15)n+1(1+5)n(15)n=limn+121+5(15)(151+5)n1(151+5)n=1+52

(do |151+5|<1 nên limn+(151+5)n=0 ).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

close