Giải bài 31 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm $m$ để hàm số sau liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$:

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x + 5}  - 2}}{{x + 1}}}&{{\rm{\;khi\;}}x >  - 1}\\{m \cdot {4^{ - x}} + 1}&{{\rm{\;khi\;}}x \le  - 1}\end{array}} \right.$

Lời giải chi tiết

Dễ thấy hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Hàm số liên tục trên toàn bộ tập số thực $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại $x =  - 1$.

Ta xét tính liên tục của hàm số tại $x =  - 1$.

 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {m{{.4}^{ - x}} + 1} \right) = 4m + 1$ và $f\left( { - 1} \right) = 4m + 1$

Suy ra hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\frac{1}{4} = 4m + 1 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{{16}}$.