Giải bài 27 trang 70 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét xem các dãy số với công thức tổng quát sau có phải là cấp số cộng/cấp số nhân hay không. Tìm số hạng đầu tiên và công sai/công bội nếu có.

a) ${u_n} = 5n - 7$;

b) ${u_n} = 9 \cdot {2^n}$;

c) ${u_n} = {n^2} - n + 1$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có ${u_{n + 1}} = 5\left( {n + 1} \right) - 7 = 5n - 2$, suy ra

${u_{n + 1}} - {u_n} = 5n - 2 - \left( {5n - 7} \right) = 5\forall n.$

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng và ${u_1} =  - 2,d = 5$.

Lại có $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{{ - 2}} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{8}{3}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

b) Ta có ${u_{n + 1}} = 9 \cdot {2^{n + 1}} = 18 \cdot {2^n}$, suy ra ${u_{n + 1}}:{u_n} = 2\forall n$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân và ${u_1} = 18,q = 2$.

Lại có ${u_2} - {u_1} = 36 - 18 \ne {u_3} - {u_2} = 72 - 36$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số cộng.

c) Ta có $\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} \ne \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = \frac{7}{3}$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

Lại có ${u_2} - {u_1} = 3 - 1 \ne {u_3} - {u_2} = 7 - 3$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số cộng.