Giải bài 2.11 trang 36 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau có phải là một cấp số cộng không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

a) \({u_n} = 4 - 3n\);                                  

b) \({u_n} = {n^2} + 1;\);

c) \({u_n} = 2n + 5\);                                 

d) \({u_1} = 3,{u_{n + 1}} = {u_n} + n\).

Lời giải chi tiết

a) \({u_n} = 4 - 3n\) nên \({u_{n + 1}} = 4 - 3\left( {n + 1} \right) = 1 - 3n\)

Do đó, \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {1 - 3n} \right) - \left( {4 - 3n} \right) =  - 3\forall n.\) Vậy dãy số trên là cấp số cộng với số hạng đầu là 4, công sai là

b) \({u_n} = {n^2} + 1\) nên \({u_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 = {n^2} + 2n + 2\)

Do đó, \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{n^2} + 2n + 2} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right) = 2n + 1,\) phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số trên không là cấp số cộng.

c) \({u_n} = 2n + 5\) nên \({u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) + 5 = 2n + 7\)

Do đó, \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {2n + 7} \right) - \left( {2n + 5} \right) = 2\forall n.\) Vậy dãy số trên là cấp số cộng.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = n,\) phụ thuộc vào n. Vậy dãy số không là cấp số cộng.