Giải bài 1.29 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m; trục của nó đặt cách mặt nước 2m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là $h = \left| y \right|$ trong đó $y = 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right)$ với x là thời gian quay của guồng $\left( {x \ge 0} \right),$ tính bằng phút; ta quy ước rằng $y > 0$ khi gầu ở trên mặt nước và $y < 0$ khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Lời giải chi tiết

a) Vì $- 1 \le \sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 1$ nên $- 2,5 \le 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2,5$

Do đó, $- 0,5 = 2 - 2,5 \le 2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) \le 2 + 2,5 = 4,5\;\forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} + k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm $\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},...$ phút

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3… phút

b) Gầu cách mặt nước 2m khi $2 + 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 2 \Leftrightarrow 2,5\sin 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2\pi \left( {x - \frac{1}{4}} \right) = k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{1}{4} + \frac{k}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2m lần đầu tại thời điểm $x = \frac{1}{4}$ phút