Giải bài 1.20 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) $\tan x\cot x = 1$;                                        

b) $1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$;

c) $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$;           

d) $\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}$.

Lời giải chi tiết

a) Đẳng thức $\tan x\cot x = 1$ đúng với mọi x khi $\tan x$ và $\cot x$ có nghĩa, tức là:

$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z}).$

b) Đẳng thức $1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ đúng với mọi x khi $\cos x \ne 0$, tức là$x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z}).$

c) Đẳng thức $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ đúng với mọi x khi $\sin x \ne 0$, tức là: $x \ne k\pi \,\,(k \in \mathbb{Z}).$

d) Đẳng thức $\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}$ đúng với mọi x khi

$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 2\sin x\cos x \ne 0 \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}(k \in \mathbb{Z}).$