Giải bài 8 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho $\sin \alpha  = \frac{3}{5},\cos \beta  = \frac{{12}}{{13}}$ và ${0^0} < \alpha ,\beta  < {90^0}$. Tính giá trị của biểu thức $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$ và $\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)$.

Lời giải chi tiết

Vì ${0^0} < \alpha ,\beta  < {90^0}$ nên $\cos \alpha  > 0,\sin \beta  > 0$

Do đó, $\cos \alpha$ $= \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }$ $= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}}$ $= \frac{4}{5}$,$\sin \beta$ $= \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta }$ $= \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}}$ $= \frac{5}{{13}}$

$\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$ $= \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta$ $= \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}} + \frac{4}{5}.\frac{5}{{13}}$ $= \frac{{56}}{{65}}$

$\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)$ $= \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta$ $= \frac{4}{5}.\frac{{12}}{{13}} + \frac{3}{5}.\frac{5}{{13}}$ $= \frac{{63}}{{65}}$