Giải bài 8 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho \(\sin \alpha  = \frac{3}{5},\cos \beta  = \frac{{12}}{{13}}\) và \({0^0} < \alpha ,\beta  < {90^0}\). Tính giá trị của biểu thức \(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\) và \(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)\).

Lời giải chi tiết

Vì \({0^0} < \alpha ,\beta  < {90^0}\) nên \(\cos \alpha  > 0,\sin \beta  > 0\)

Do đó, \(\cos \alpha  \) \( = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  \) \( = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2}}  \) \( = \frac{4}{5}\),\(\sin \beta  \) \( = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\beta }  \) \( = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)}^2}}  \) \( = \frac{5}{{13}}\)

\(\sin \left( {\alpha  + \beta } \right) \) \( = \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta  \) \( = \frac{3}{5}.\frac{{12}}{{13}} + \frac{4}{5}.\frac{5}{{13}} \) \( = \frac{{56}}{{65}}\)

\(\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) \) \( = \cos \alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta  \) \( = \frac{4}{5}.\frac{{12}}{{13}} + \frac{3}{5}.\frac{5}{{13}} \) \( = \frac{{63}}{{65}}\)