Giải bài 7.55 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,AD\).

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt \(AMN.A'B'D'\).

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(A'B\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\({S_{A'B'D'}} = \frac{{{a^2}}}{2};{S_{AMN}} = \frac{{{a^2}}}{8};{S_{ABCD}} = {a^2};AA' = a\), suy ra thể tích khối chóp cụt \(AMN \cdot A'B'D'\) là:

\(V = \frac{1}{3} \cdot AA' \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A'B'D'}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A'B'D'}}} } \right)\)

\( = \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{a^2}}}{8} \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} } \right) = \frac{{7{a^3}}}{{24}}{\rm{.\;}}\) 

b) Vì \(MN//BD\) nên \(MN//\left( {A'BD} \right)\), do đó:

\(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {MN,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right).\)

Vì \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\).

Đặt \(h = d\left( {A,\left( {A'BD} \right)} \right)\) thì \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{'}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}\), suy ra \(h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {MN,A'B} \right) = d\left( {M,\left( {A'BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).