Giải bài 7.4 trang 26 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Gọi $M$, N lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,AB$

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: $MN$ và $SD;MO$ và $SB$

b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng $SN$ và $BC$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $B{D^2} = S{B^2} + S{D^2} = 2{a^2}$ nên $\Delta SBD$ vuông tại $S$, mà $MN//SB$, suy ra $\left( {MN,SD} \right) = \left( {SB,SD} \right) = {90^ \circ }$.

Với O là giao điểm của $AC$ và $BD$ thì $MO//SC$.

Khi đó $\left( {MO,SB} \right) = \left( {SC,SB} \right) = \widehat {BSC} = {60^ \circ }$.

b) Vì $ON{\rm{ }}//BC$ nên $\left( {SN,BC} \right) = \left( {SN,ON} \right) = \widehat {SNO}$.

Ta có $SO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2};ON = \frac{a}{2}$ và tam giác $SNO$vuông tại O nên ${\rm{tan}}\widehat {SNO} = \frac{{SO}}{{ON}} = \sqrt 2$.

Vậy ${\rm{tan}}\left( {SN,BC} \right) = \sqrt 2$.