Giải bài 7.13 trang 30 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng $a$. Tính côsin của góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $BCD$.

Lời giải chi tiết

Kẻ $AH \bot \left( {BCD} \right)$ tại $H$, ta có $BH$ là hình chiếu vuông góc của $AB$ trên mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ nên góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $BH$, mà $\left( {AB,BH} \right) = \widehat {ABH}$.

Vì $AB = AC = AD$  nên $HB = HC = HD$, hay $H$  là tâm của tam giác$BCD$, suy ra$BH = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Từ đó ta tính được:  $\cos \widehat {ABH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

 

Vậy côsin của góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{3}$.