Giải bài 6 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với $AB = AC = a,\widehat {BAC} = {120^0}$, mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy một góc ${60^0}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Lời giải chi tiết

Kẻ $A'I \bot B'C'\left( {I \in B'C'} \right)$. Vì $AA' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AA' \bot B'C'$

Vì $AA' \bot B'C',A'I \bot B'C' \Rightarrow B'C' \bot \left( {A'AI} \right) \Rightarrow B'C' \bot AI$

Ta có: $B'C' \bot AI,A'I \bot B'C',AI \subset \left( {AB'C'} \right),A'I \subset \left( {A'B'C'} \right)$ và B’C’ là giao tuyến của (AB’C’) và (A’B’C’). Do đó, $\left( {\left( {AB'C'} \right),\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'I,AI} \right) = \widehat {A'IA} = {60^0}$

Tam giác A’B’C’ cân tại A’ nên A’I là đường cao đồng thời là đường phân giác nên $\widehat {B'A'I} = \frac{1}{2}\widehat {B'A'C'} = {60^0}$

Tam giác B’A’I vuông tại I nên $A'I = A'B'.\cos \widehat {B'A'I} = a.\cos {60^0} = \frac{1}{2}a$

Vì $AA' \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow AA' \bot A'I$. Do đó, tam giác A’AI vuông tại A’.

Do đó, $A'A = A'I.\tan \widehat {AIA'} = \frac{a}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

${V_{ABC.A'B'C'}}$ $= A'A.{S_{A'B'C'}}$ $= \frac{1}{2}A'A.AB.AC\sin \widehat {BAC}$ $= \frac{1}{2}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a.a.\sin {120^0}$ $= \frac{{3{a^2}}}{8}$