Giải bài 3 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho $HA = 2HB$. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng ${60^0}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí côsin vào tam giác AHC có:

$C{H^2}$ $= A{C^2} + A{H^2} - 2AC.AH.\cos \widehat {CAH}$

$\Rightarrow C{H^2}$ $= {a^2} + {\left( {\frac{{2a}}{3}} \right)^2} - 2a.\frac{{2a}}{3}.\cos {60^0}$ $= \frac{{7{a^2}}}{9} \Rightarrow CH$ $= \frac{{a\sqrt 7 }}{3}$

Vì $SH \bot \left( {ABC} \right)$ nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (ABC)

Do đó, $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)$ $= \left( {SC,HC} \right)$ $= \widehat {SCH}$ $= {60^0}$

Trong tam giác SCH vuông tại H có: $SH$ $= CH.\tan {60^0}$ $= \frac{{a\sqrt 7 }}{3}.\sqrt 3$ $= \frac{{a\sqrt {21} }}{3}$

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, I là hình chiếu của H trên đường thẳng đó.

Khi đó, BC//AI. Suy ra: $d\left( {BC,SA} \right)$ $= d\left( {BC,\left( {SAI} \right)} \right)$ $= d\left( {B,\left( {SAI} \right)} \right)$ $= \frac{3}{2}d\left( {H;\left( {SAI} \right)} \right)$

Gọi K là hình chiếu của H trên SI.

Vì $SH \bot AI,AI \bot HI \Rightarrow AI \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow AI \bot KH$

Mà $HK \bot SI \Rightarrow HK \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAI} \right)} \right)$ $= HK$

Ta có: $\widehat {HAI}$ $= {180^0} - \left( {{{60}^0} + {{60}^0}} \right)$ $= {60^0}$

Tam giác AHI vuông tại I nên $HI$ $= HA.\sin {60^0}$ $= \frac{{2a}}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ $= \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác SIH vuông tại H có: $\frac{1}{{H{K^2}}}$ $= \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}}$ $= \frac{9}{{21{a^2}}} + \frac{9}{{3{a^2}}}$ $= \frac{{24}}{{7{a^2}}} \Rightarrow HK$ $= \frac{{a\sqrt {42} }}{{12}}$

Do đó: $d\left( {BC,SA} \right)$ $= \frac{{a\sqrt {42} }}{8}$