Giải bài 5 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết $AB = a,BC = a\sqrt 3$, góc giữa hai mặt phẳng (C’AB) và (ABC) bằng ${60^0}$. Tính ${V_{ABC.A'B'C'}}$

Lời giải chi tiết

Vì $AB \bot BC,AB \bot CC' \Rightarrow AB \bot \left( {BCC'} \right) \Rightarrow AB \bot C'B$

Ta có: $AB \bot CB,C'B \bot AB$ và AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (C’AB) và (ABC)

Do đó, $\left( {\left( {C'AB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {CB,C'B} \right) = \widehat {C'BC} = {60^0}$

Vì $CC' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow CC' \bot CB$. Do đó, tam giác C’BC vuông tại C.

Suy ra: $CC' = BC.\tan \widehat {C'BC} = a\sqrt 3 .\tan {60^0} = 3a$

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}.a.a\sqrt 3  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

Thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

${V_{ABC.A'B'C'}} = CC'.{S_{ABC}} = 3a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}$