Giải bài 4 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho khối chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$, tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là $AB = 5a,BC = 8a,AC = 7a$, góc giữa SB và (ABC) là ${45^0}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải chi tiết

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC)

Ta có: $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = {45^0}$

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB$. Do đó, tam giác SAB vuông cân tại A.

Suy ra, $SA = AB = 5a$.

Nửa chu vi tam giác ABC là: $p = \frac{{5a + 7a + 8a}}{2} = 10a$

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = \sqrt {10a\left( {10a - 5a} \right)\left( {10a - 7a} \right)\left( {10a - 8a} \right)}  = 10{a^2}\sqrt 3$

Thể tích khối chóp S. ABC là: $V = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.5a.10{a^2}\sqrt 3  = \frac{{50{a^3}\sqrt 3 }}{3}$