Giải bài 2.29 trang 40 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Lời giải chi tiết

Gọi ${u_n}$ là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n. Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}$ nên ${u_1} = 2.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{{{2^2}}}$ và độ dài của cạnh hình vuông sau đó là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên ${u_2} = \frac{{{a^2}}}{{{2^3}}}$

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ nên ${u_3} = \frac{{{a^2}}}{{{2^4}}}$’

Như vậy, dãy số (${u_n}$) là cấp số nhân với ${u_1} = \frac{{{a^2}}}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là ${S_5} = {u_1} = \frac{{1 - {q^5}}}{{1 - q}} = 124\left( {c{m^2}} \right)$