Giải bài 2.2 trang 33 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) ${u_n} = {n^2} + n + 1;$

b) ${u_n} = \frac{{2n + 5}}{{n + 2}};$

c) ${u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2} + 1}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} + n + 1 + 1 - \left( {{n^2} + n + 1} \right) = 2n + 2 > 0$, $\forall n \ge 1$ nên $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 5}}{{n + 3}} - \frac{{2n + 5}}{{n + 2}} = \frac{{2n + 7}}{{n + 3}} - \frac{{2n + 5}}{{n + 2}}$.

$= \frac{{\left( {2n + 7} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {2n + 5} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} < 0$, $\forall n \ge 1$.

Do đó, $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

c) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2} + 1}}$

$= {\left( { - 1} \right)^n}\left( {\frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} + \frac{1}{{{n^2} + 1}}} \right)$.

Ta thấy hiệu này âm hay dương phụ thuộc vào n chẵn hay n lẻ. Do đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không tăng, không giảm.